Leis da álgebra booleana

1. Álgebra de Boole

Uma álgebra Booleana pode ser definida com um conjunto de operadores e um conjunto de axiomas, que são assumidos verdadeiros sem necessidade de prova. Em 1854, George Boole introduziu o formalismo que até hoje se usa para o tratamento sistemático da lógica, que é a chamada Álgebra Booleana. Em 1938, C. E. Shannon aplicou esta álgebra para mostrar que as propriedades de circuitos elétricos de chaveamento podem ser representadas por uma álgebra Booleana com dois valores. Diferentemente da álgebra ordinária dos reais, onde as variáveis podem assumir valores no intervalo
(-∞;+∞), as variáveis Booleanas só podem assumir um número finito de valores. Em particular, na álgebra Booleana de dois valores, cada variável pode assumir um dentre dois valores possíveis, os quais podem ser denotados por [F,V] (falso ou verdadeiro),[H,L] (high and low) ou ainda [0,1]. Nesta disciplina, adotaremos a notação [0,1], a qual também é utilizada em eletrônica digital. Como o número de valores que cada variável pode assumir é finito (e pequeno), o número de estados que uma função Booleana pode assumir também será finito, o que significa que podemos descrever completamente as funções Booleanas utilizando tabelas. Devido a este fato, uma tabela que descreva uma função Booleana recebe o nome de tabela verdade, e nela são listadas todas as combinações de valores que as variáveis de entrada podem assumir e os correspondentes valores da função (saídas).

1.1. Comutativa

O operador binário " # " é dito comutativo se A # B = B # A para todos os valores booleanos possíveis de A e B.
EX.
a) A + B = B + A
b) A B = B A

1.2. Associativo
Se (A % B) % C = A % (B % C) para todos os valores booleanos de A, B e C, diz-se que o operador binário "%" é associativo.
EX.
a) (A+B) + C = A (B+C)
b) (AB) C = A (BC)

1.3 Distributiva Dois operadores binários "%" e "#" são distributivos se A % (B # C) = (A % B) # (A % C) para todos os valores booleanos de A, B e C.
EX.