algebra booleana

Álgebra Booleana
Álgebra booleana ou Álgebra de Boole: álgebra criada pelo matemático inglês George Boole (18151864).
A álgebra booleana é constituída de:
Um conjunto de elementos B = {0, 1}
Uma operação binária + (OU lógico – OR)
Uma operação binária . (E lógico – AND)

Postulados (a e b ∈ B)
P1 - OU e E comutativos
i) a + b = b + a ii) a . b = b . a
P2 - OU e E distributivos
i) a + (b . c) = (a + b) . (a + c) ii) a . (b + c) = (a . b) + (a . c)
P3 - Identidade em relação ao OU e ao E
i) a + 0 = 0 + a = a ii) 1 . a = a .1 = a
P4 - Elemento complementar
i) a + a/ = 1 ii) a . a/ = 0

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Precedência
E tem precedência sobre OU
Parentêses podem ser utilizados para forçar a precedência Princípio da Dualidade
Toda identidade algébrica dedutível dos postulados permanece válida se:
+ for trocado por . e vice-versa
O elemento 0 for trocado por 1 e vice-versa

Teoremas
Teorema 1: Todo elemento de B tem um complemento único
Teorema 2
i) a + 1 = 1 ii) a . 0 = 0
Teorema 3
i) 0/ = 1 ii) 1/ = 0

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Teorema 4: Lei da Idempotência
i) a + a = a ii) a . a = a
Teorema 5: Lei da Involução
(a/)/ = a
Teorema 6: Lei da Absorção
i) a + a . b = a ii) a . (a + b) = a
Teorema 7
i) a + a/ . b = a + b ii) a . ( a/ + b ) = a . b
Teorema de De Morgan
i) (a + b)/ = a/ . b/ ii) (a . b)/ = a/ + b/
Generalização do teorema de De Morgan
(a + b ... + c + d) / = a/ . b/ ... c/ . d/
(a . b ... c . d)/ = a/ + b/ .... + c/ + d/

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Propriedade associativa
i) a + (b + c) = (a + b) + c ii) a (b c) = (a b) c
Por convenção o símbolo . pode ser omitido

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Definição das operações
Operação + (OU – OR)
0+0=0
0+1=1
1+0=1
1+1=1
Operação . (E – AND)
0.0=0