Integração Imprópria

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Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de Matem´atica
Departamento de M´etodos Matem´aticos
Integral Impr´opria

Integral impr´ opria em Rn (n = 1, 2, 3)
Autores: Angela C´ assia Biazutti e Ivo Fernandez Lopez
Introdu¸c˜
ao
A integral m´ ultipla (dupla/tripla) ´e apresentada, em geral, para fun¸c˜oes cont´ınuas por partes (logo limitadas) em regi˜oes fechadas e limitadas. No entanto, a defini¸c˜ao de integral pode ser estendida para fun¸co˜es que n˜ao s˜ao limitadas
´ o que se denomina integral de e/ou definidas em regi˜oes n˜ao limitadas. E
Riemann impr´ opria. Os livros de C´alculo que pesquisamos ou n˜ao abordam este t´opico, ou o fazem de modo muito superficial. Os livros de An´alise quando o fazem, tratam de forma ou superficial ou sofisticada em excesso, para um primeiro contato. Por esta raz˜ao resolvemos escrever estas notas.
Antes de come¸car o estudo da integral m´ ultipla impr´opria, vamos ver (rever) o b´asico da integral impr´opria de uma vari´avel.
Integral Impr´ opria de uma vari´ avel Defini¸c˜ ao 1. Seja f cont´ınua por partes em [a, +∞). Define-se
+∞

N

f (x)dx = lim

N →+∞

a

f (x)dx , a se o limite for finito; de modo similar, se f cont´ınua por partes em (−∞, b], define-se b

b

f (x)dx = lim
−∞

M →−∞

f (x)dx,
M

2

se o limite for finito. Finalmente, se f cont´ınua por partes em R, b +∞

f (x)dx = lim

M →−∞

−∞

N

f (x)dx + lim

N →+∞

M

f (x)dx, b se ambos os limites forem finitos.
Observa¸c˜
ao 1. No caso da integral impr´opria existir, dizemos que ela ´e convergente, caso contr´ario dizemos que ela diverge.
+∞

Exemplo 1. Discuta a convergˆencia de
2

dx
.
x ln2 (x)

Utilizando a mudan¸ca de vari´avel u = ln(x), tem-se dx = x ln2 (x)
Assim,

du −1
−1
=
=
. u2 u ln(x) N

dx
−1
1
1
= lim (
+
)
=
N →+∞ 2 x ln2 (x)
N →+∞ ln(N ) ln(2) ln(2) logo a integral acima converge. lim +∞

dx
.
x