Integral Indefinida

Integral Indefinida
• Definição 1: Uma função F(x) é chamada uma primitiva da função f(x) em um intervalo I, se, para todo x E I, temos
F'(x) = f(x).
• Proposição 1: Seja F(x) uma primitiva da função f(x). Então, se c é uma constante qualquer, a função G(x) = F(x) + c também é primitiva de f(x).
Prova. Como F(x) e primitiva de f(x), temos que F '(x) = f(x). Assim,
G ' (x) = (F(x) +c)’ = F ' (x) + O = f(x), o que prova que G(x) e uma primitiva de f(x).
OBS: De acordo com nossa definição, as primitivas de uma função f(x) estão sempre definidas sobre algum intervalo. Quando não explicitamos o intervalo e nos referimos a duas primitivas da mesma função f, entendemos que essas funções são primitivas no mesmo intervalo l.

• Proposição 2: Se f' (x) se anula em todos os pontos de um intervalo I, então f é constante em I.
Prova. Sejam x, y E I, x < y. Como f e derivável em I, f e contínua em [x, y] e derivável em (x, y). Pelo
Teorema do Valor Médio, existe z E (x, y), tal que
Como f '(z) = 0, vem que f(y) — f(x) = 0 ou f( y) = f(x).
Sendo x e y dois pontos quaisquer de I, concluímos que f é constante em I.

• Proposição3 : Se F(x) e G(x) são funções primitivas de f(x) no intervalo I, então existe uma constante c tal que G(x) - F(x) = c, para todo x E I.
Prova. Seja H(x) = G(x) — F(x). Como F e G são primitivas de f(x) no intervalo I, temos F '
(x) = G ' (x) = f(x), para todo x E I.
Assim, H ' (x) = G '(x) — F ' (x) = f(x) — f(x) = O, para todo x E I.
Pela proposição 6.1.4, existe uma constante c, tal que H (x) = c, para todo x E I. Logo, para todo x E I, temos
G(x) — F(x) = c.
Da proposição 6.1.5, concluímos que se F(x) é uma particular primitiva de f, então toda primitiva de f é da forma G(x) = F(x) + c, onde c é uma constante.
OBS: Portanto o problema de determinar as primitivas de f, se resume em achar uma primitiva particular.

Definição.
Se F(x) é uma primitiva de f(x), a expressão F(x) + c é
•
chamada integral indefinida da função f(x) e é denotada por
O