Integral indefinida
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Cálculo 2Faculdade Guarapuava – 2.º Per. Engenharia – LISTA 05 – CONCEITOS BÁSICOS
Exemplo: Calcule a integral indefinida das seguintes funções:
1)
7 x 6dx
2)
12v 3dv
3)
(28 x
3
)
− 6 x 2 + 8 dx
(4s
4)
2
Exercícios: Calcule, em cada função abaixo, sua integral indefinida:
2 5
1) 4 x 3 dx
9) 3 x 2 + 5 + x dx
5)
x dx
3
(
2)
3 x 4dx
6)
3)
2 x 7 dx
7)
4)
1 x 3
dx
8)
3
10)
5u 2 du
(4 x
(3u
)
3
+ x 2 dx
5
− 2 u 3 du
1. Integral indefinida
Definição: Uma função
11)
)
12)
(5 x
)
4
)
− 2 s + 1 ds
)
− 8 x 3 + 9 x 2 − 2 x + 7 dx
x x+
5t 2 + 7 t4 3
1 dx x
dt
Conceitos básicos
F (x) é chamada uma primitiva da função f (x) em um intervalo I (ou simplesmente uma primitiva de f (x ) ), se para todo x ∈ I , tem-se F ' ( x ) = f ( x) . x3 é uma primitiva da função f ( x) = x 2
3
Definição: Se F(x) é uma primitiva de f(x), a expressão F(x) + c é chamada integral indefinida da função f(x) e é
Exemplo: F ( x) =
a.
denotada por
f ( x)dx = F ( x) + c .
De acordo com esta notação o símbolo
é chamada sinal de integração, f(x) função integrando e f(x).dx de
integrando. O processo que permite determinar a integral indefinida de uma função é chamado de integração. O símbolo dx que aparece no integrando serve para identificar a variável de integração.
Da definição da integral indefinida, decorre que:
(i)
f ( x)dx = F ( x) + c ⇔F ' ( x) = f ( x).
(ii)
f ( x)dx representa ma família de funções (a família de todas as primitivas da função integrando).
Propriedades da Integral Indefinida
b.
Proposição: Sejam f , g : I → R e K ma constante. Então:
(i)
Kf ( x)dx = K f ( x)dx .
(ii)
( f ( x) + g ( x))dx =
f ( x)dx + g ( x )dx .
O processo de integração exige alguma intuição, pois conhecendo apenas a derivada de uma dada função pode-se descobrir a função. Pode-se obter uma tabela