integrais

PRIMITIVAS TRIGONOMÉTRICAS
Por Alexsandro R Ferreira

01) ∫ cos ( x ) dx = sen ( x ) + k

02) ∫ sen ( x ) dx = − cos ( x ) + k

03) ∫ tg ( x ) dx = − ln cos ( x ) + k

04) ∫ sec ( x ) dx = ln sec ( x ) + tg ( x ) + k
05)
06)
07)
08)
09)

 x dx = arctg   + k x²  a
1
 x
∫ a ² − x² dx = arcsen  a  + k x 1
2
∫ cos ( x ) dx = 2 + 4 sen ( 2 x ) + k x cos ( 2 x )
∫ sen² ( x ) dx = 2 − 4 + k
∫ tg² ( x ) dx = tg ( x ) − x + k
1

∫ a² +

10) ∫ sec ² ( x ) dx = tg ( x ) + k
11) ∫ sen ( α x ) dx = −
12) ∫ cos ( α x ) dx =

1 cos ( α x ) + k α 1 sen ( α x ) + k α INTEGRAIS DE PRODUTOS DE SENOS E COSSENOS
Fórmulas de substituição:
1
1) sen ( a ) .cos ( b ) =  sen ( a + b ) + sen ( a − b ) 

2
1
2) cos ( a ) .cos ( b ) =  cos ( a + b ) + cos ( a − b ) 

2
1
3) sen ( a ) .sen ( b ) =  cos ( a − b ) − cos ( a + b ) 

2
Exemplos:
01) Calcule a integral

∫ sen ( 3x ) cos ( 2 x ) dx

fazendo a = 3x e b = 2 x na primeira relação temos:
1
sen ( 3x ) cos ( 2 x ) dx =
 sen ( 3 x + 2 x ) + sen ( 3x − 2 x )  dx

2
1
1 sen ( 5 x ) + sen ( x ) dx = sen ( 5 x ) dx + sen ( x ) dx = − cos ( 5 x ) − cos ( x ) + k
10
2

∫
∫

∫

∫

∫

∫ cos ² ( x ) dx :

02) Calcule a integral

∫ cos ² ( x ) dx = ∫ cos ( x ) cos ( x ) dx

Pela segunda relação:

1

1

1

∫ cos ( x ) cos ( x ) dx = ∫ 2  cos ( x + x ) + cos ( x − x )  dx = ∫ 2 cos ( 2 x ) + 2 dx
Assim :
1

1

∫ cos ² ( x ) dx = ∫ 2 cos ( 2 x ) dx +∫ 2dx =
03) Calcule a integral
Pela terceira relação:

1 x sen ( 2 x ) + + k
4
2

∫ sen ( 3x ) sen ( 5x ) dx

1
 cos ( 3 x − 5 x ) − cos ( 3 x + 5 x )  dx

2
1
1
1
 cos ( − 2 x ) − cos ( 8 x )  dx = cos ( − 2 x ) dx − cos ( 8 x ) dx


2
2
2
Como cosseno é uma função par: cos ( − 2 x ) = cos ( 2 x ) de onde resulta:

∫
∫

sen ( 3x ) sen ( 5 x ) dx =

∫

sen ( 3x ) sen ( 5 x ) dx =

∫

∫

∫

1 + x ² dx =

∫

∫

1