IMC Lagrange

Mecânica Lagrangeana

Apontamentos para a disciplina

Introdução à Mecânica Clássica
2001/02

Maria Inês Barbosa de Carvalho
Aníbal Castilho Coimbra de Matos

Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores
Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto

O formalismo lagrangeano permite obter as equações de movimento de um sistema de um modo elegante e sistemático. Contrariamente aos métodos baseados nas leis de
Newton, este formalismo não exige a identificação das forças envolvidas, o que torna a análise mais abstracta. Contudo, é assim possível simplificar o tratamento de sistemas de maior complexidade, especialmente quando não é relevante a determinação das forças associadas às restrições ao movimento das suas partículas.

Estas notas constituem uma breve introdução à Mecânica Lagrangena. O seu conteúdo está de acordo com os sistemas físicos estudados no âmbito desta disciplina.

Coordenadas generalizadas
/
A posição de uma partícula fica definida pelo seu raio vector de posição r , cujas componentes são as suas coordenadas cartesianas x, y, e z. Para especificar completamente a posição de um sistema de N partículas, serão necessários N raios vectores de posição, ou seja, 3N coordenadas. No entanto, é possível conhecer a posição de determinados sistemas a partir de um número de variáveis inferior a 3N.
Designa-se por número de graus de liberdade a quantidade de variáveis independentes que é necessário especificar para conhecer completamente a posição de um dado sistema.

Se uma partícula for obrigada a mover-se sobre uma superfície conhecida (por exemplo, sobre a superfície de uma esfera, ou sobre o plano xy), bastarão 2 parâmetros para definir completamente a sua posição no espaço. Caso a partícula se desloque ao longo de uma linha conhecida, a sua posição ficará especificada a partir de uma única variável.

m

θ

Movimento sobre uma superfície

m

Movimento ao longo de uma curva

2

As