Hiperbole

1.INTRODUÇÃO

O presente trabalho foi elaborado com o objetivo de ampliar os nossos conhecimentos em geometria analítica, mais precisamente a cerca da hipérbole suas propriedades e aplicações.

2. DESENVOLVIMENTO

2.1 Definição

A hipérbole é a curva que se obtém seccionando-se um cone com um plano que não passa pelo vértice, não é paralelo a uma reta geratriz e que corta as duas folhas da superfície.

Dados dois pontos fixos F1 e F2 de um plano, tais que a distancia entre estes pontos seja igual a 2c > 0, denomina-se hipérbole, à curva plana cujo módulo da diferença das distancias de cada um de seus pontos P à estes pontos fixos F1 e F2 é igual a um valor constante 2a , onde a < c.
Assim é que temos por definição:
½ PF1 - PF2 ½ = 2 a
[pic]
Os pontos F1 e F2 são denominados focos e a distancia F1F2 é conhecida comdistancia focal da hipérbole.
O quociente c/a é conhecido como excentricidade da hipérbole.
Como, por definição, a < c, concluímos que a excentricidade de uma hipérbole é um número positivo maior que a unidade.
A1A2 é denominado eixo real ou eixo transverso da hipérbole, enquanto que B1B2é denominado eixo não transverso ou eixo conjugado da hipérbole. Observe na figura acima que é válida a relação: c2 = a2 + b2
O ponto (0,0) é o centro da hipérbole.

2.2 Equações

2.2.1 - Exemplos
1- A distância entre os focos da cônica 3x²-y²-9=0 é:
Resolução:
3x²-y²-9=0
Como temos 3x²-y², sabemos que trata-se de uma hipérbole, se fosse 3x²+y² seria uma elipse, fique atento, precisamos deixar a equação nesse formato:
(x-xo)² - (y-yo)²= 1 a² b²
Então:
3x²-y²-9=0
3x²-y²=9
Se dividirmos tudo por nove, o segundo membro da equação fica 1, como no formato que precisamos:
3x² - y² = 9 9 9 9

x² - y² = 1
3 9

Pronto, agora temos a e b, podemos achar c: a²=3 b²=9 a=√3 b=3

c²=a²+b² c²=√3²+3² c²=3+9 c=√12 c=2√3

A distância