geometria analitica

Superf´ıcies qu´adricas - parabol´ oides ´
MODULO
2 - AULA 17

Aula 17 – Superf´ıcies qu´ adricas parabol´ oides Objetivos
• Apresentar os parabol´oides el´ıpticos e hiperb´olicos identificando suas se¸co˜es planas.
• Estudar os parabol´oides regrados e de revolu¸ca˜o.
Nas superf´ıcies qu´adricas estudadas nas Aulas de 29 a 32, vimos que elipses, c´ırculos e hip´erboles s˜ao encontradas como se¸co˜es planas. Al´em dessas cˆonicas, encontramos tamb´em retas e pontos, ou seja, cˆonicas degeneradas. oides, conforme o nome sugere, as par´abolas aparecem de forma
Nos parabol´ natural. De fato, elas ocorrem em duas das trˆes formas de obtermos se¸co˜es.
Isto ´e, as par´abolas s˜ao as cˆonicas que “mais aparecem”como se¸co˜es planas
(paralelas aos planos coordenados) num parabol´oide.
Um parabol´oide ´e denominado el´ıptico quando suas se¸co˜es s˜ao par´abolas ou elipses e ´e denominado hiperb´ olico quando suas se¸co˜es s˜ao par´abolas e hip´erboles. Come¸camos estudando os parabol´oides el´ıpticos.
Parabol´oide el´ıptico
Defini¸c˜ao 17.37
Sejam a e b n´ umeros reais positivos. Denominamos parabol´ oide el´ıptico a` superf´ıcie qu´adrica S formada pelos pontos P = (x, y, z) cujas coordenadas satisfazem uma equa¸ca˜o do tipo
S:z=

Outros parabol´ oides Dados a, b, c ∈ R positivos, o parabol´ oide S, na defini¸ca
˜o
ao lado, ´e o conjunto
{(x, y,

x2 a2 +

y2
)|x, z b2 ∈ R} .

Outros parabol´ oides s˜ ao os conjuntos: y2 x2 + a2 b2

2

Para entender a forma de S, vamos analisar suas se¸co˜es planas.
(i) Interse¸c˜ao de S com planos paralelos ao plano XY

2

{( yb2 + zc2 , y, z)|y, z ∈ R} e 2
2
{(x, x
+ zc2 , z)|x, z ∈ R} . a2 A interse¸ca˜o de S com um plano de equa¸ca˜o z = k, paralelo ao plano XY , consiste dos pontos cujas coordenadas satisfazem o sistema y2 x2

z= 2+ 2
Figura 17.1: Elipse E, se¸ca
˜o de S no plano z = a b
 z = k. k, k ≥ 0.

Substituindo z = k na