Geometria Analitica

Pontifícia Universidade Católica de Goiás
Departamento de Matemática e Física - MAF
Exercícios de Álgebra linear - Profª Marta Maria

Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares

1. Escreva as matrizes A e B 2x2 que tenham elementos aij=i+j e bij=(-1)i+j.
2. Dê exemplos 3x3 (que não seja a matriz nula) de:
a) uma matriz diagonal.
b) uma matriz simétrica.
c) uma matriz triangular superior.

3. Se

a b  mostre que A2 = (a+d)A-(ad-bc)I,
A
c d



onde I é a matriz identidade 2x2.
4. Verdadeiro ou falso? Se a reposta for falsa, dê um contra exemplo específico.
a) Se as colunas 1 e 3 de B são iguais, então as colunas 1 e
3 de AB também são.
b) Se as linhas 1 e 3 de B são iguais, então as linhas 1 e 3 de AB também são.
c) (AB)2=A2B2.
5. Quais das seguintes matrizes são iguais a (A+B) 2?
A2+2AB+B2, A(A+B)+B(A+B), (A+B)(B+A),
A2+AB+BA+B2.
6. Por tentativa e erro, encontre exemplos de matrizes 2x2, de modo que:
a) A2=-I, com A tendo apenas elementos reais.
b) B2=0, embora B≠0.
c) CD=-DC, não sendo permitido o caso CD=0.
d) EF=0, embora nenhum elemento de E ou F seja zero.
e) A2 =I, com A tendo a diagonal principal igual a 0.
f) A2 = -I, com A tendo a diagonal principal igual a 0.
g) A2 +B2=0, use e) e f).
7. Se uma matriz 4x4 possui detA=

1
, encontre det(2A),
2

det(-A), det(A2) e det(A-1).
8. Se uma matriz 3x3 possui detA=-1, encontre det(

1
A),
2

det(-A), det(A2) e det(A-1).
9. Encontre 4 matrizes 2x2 diferentes, com cada elemento da diagonal principal igual a 1 ou -1, tal que
A2 =I.

10. Diga se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas, dando o motivo, ou um contra exemplo se falsa.
a) Se A e B são idênticas, exceto por b11=2a11, então detB=2detA. b) O determinante de AB-BA é 0.
c) O determinante de S-1AS é igual ao determinante de A.
d) Se detA=0, então pelo menos um dos cofatores ∆ ij deve ser nulo.
e) Uma matriz cujos elementos são apenas 0 e 1 possui determinante 1, 0 e -1.
11.