geometria analitica

Elipse
Elipse é uma curva cônica que é obtida através da interseção de um cone com um plano. Se esse plano for colocado em diferentes inclinações, é possível se obter as demais curvas cônicas: parábola e hipérbole.

A elipse também pode ser definida como o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja soma das distancias a dois pontos fixos ( foco), é constante.
A imagem a seguir mostra a representação de uma elipse.

Elementos:
F1 e F2: Focos
C: Ponto médio entre os focos a: eixo maior b: eixo menor
A e B: pontos do vértice
Excentricidade: e=c/a
A excentricidade varia entre 0 e 1, quanto mais próximo de 1, for o valor da excentricidade, mais achatada será a elipse.
Através da imagem podemos observar que quanto mais próximos estiverem os focos, mais a elipse ficara semelhante a uma circunferência, o circulo é um caso particular em que a direção do plano é perpendicular ao eixo de simetria.
Em toda elipse vale a relação de Pitágoras no triangulo retângulo, onde: a²=b²+c² A equação reduzida da elipse é deduzida a partir dessa relação.

A equação reduzida da elipse com centro na origem do sistema cartesiano e com focos sobre o eixo x é dada por:

Já a equação reduzida da elipse com focos sobre o eixo y, é dada por:

Porém nem sempre a elipse estará com o centro na origem do sistema cartesiano, a relação com Pitágoras ainda existirá e a equação reduzida nesse caso será:

Tabela Resumo da Elipse

Características da Elipse

Centro
(0,0)
(0,0)
Equação Reduzida

Focos
F1(-c,0) F2(c,0)
F1(0,c) F2(0,-c)
Vértices
V1(-a,0) V3(0,b)

V2(a,0) V4(0,-b)
V1(-a,0) V3(0,b)

V2(a,0) V4(0,-b)
Distância Focal
2c
2c
Eixo Maior
[V1V2] 2a [V3V4] 2b
Eixo Menor [V3V4] 2b [V1V2] 2a
Excentricidade

Directrizes y=±a/e y=±b/e
Relação entre a,b,c a2 = b2 + c2 b2 = a2 + c2

Aplicações da Elipse

Citaremos alguns exemplos onde é aplicada as definições de elipse.