gabarito calculo 3

Gabarito do Exerc´ ıcio Final
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
ˆ
CENTRO DE CIENCIAS EXATAS E DA NATUREZA
Disciplina: C´lculo 3 - 2010.1 a Data: Jul/2010
Quest˜o 1 (3 ptos). Considere o campo vetorial F (x, y) = (4x3 y 2 − 2xy 3 , 2x4 y − 3x2 y 2 + 4y 3 ) a a) Mostre que F ´ conservativo e encontre uma fun¸˜o potencial para F . e ca
b) Calcule o trabalho realizado por F para deslocar uma part´ ıcula do ponto (0, 1) ao ponto (1, 1) sobre a curva γ(t) = (t + sen(πt), 2t + cos(πt)).
Resposta.
a) Vamos tentar achar uma fun¸˜o potencial para F . Seja φ(x, y) = f (x, y) + g(y). Ent˜o: ca a
∂f
= 4x3 y 2 − 2xy 3
∂x
Da´ teremos trivialmente que: f (x, y) = x4 y 2 − x2 y 3 . Agora teremos que: ı ∂g
∂f
= (2x4 y − 3x2 y 2 + 4y 3 ) −
= (2x4 y − 3x2 y 2 + 4y 3 ) − (2x4 y − 3x2 y 2 ) = 4y 3
∂y
∂y
Da´ teremos que g(y) = y 4 , que s´ depende de y. Ou seja, a fun¸˜o: ı o ca φ(x, y) = x4 y 2 − x2 y 3 + y 4 que est´ definida para todo (x, y) ´ uma fun¸˜o potencial para o campo. a e ca Lembramos que argumentar que o campo ´ potencial porque: e ∂P
∂Q
=
∂y
∂x n˜o est´ correto, uma vez que esta igualdade pode ocorrer em situa¸˜es nas quais a suposta a a co fun¸˜o potencial n˜o estaria definida no dom´ ca a ınio conveniente.
b) Sabemos que:
1

F · dγ =

Trabalho = γ F (γ(t)) · γ (t) dt
0

Uma vez sabendo que o campo F ´ conservativo, teremos, pelo Teorema Fundamental das e Integrais de Linha sobre Campos Conservativos, que:
F · dγ = φ(ponto final) − φ(ponto inicial) γ Ou seja:
Trabalho = φ(1, 1) − φ(0, 1) = 1 − 1 = 0
Galera, por favor: muita gente veio me perguntar se esse resultado podia ser 0 mesmo com a curva
˜
n˜o sendo fechada. Mas ´ ´bvio que pode!!! O teorema diz que SE a curva for fechada, ENTAO o a eo trabalho de um campo conservativo ´ zero. Obviamente a curva pode ser uma loucura qualquer e o e trabalho ser zero. Basta vocˆ pensar, por exemplo, numa for¸a que atrapalhe metade do movimento, e c
e