Fourrier

Transformada de Fourier
Reginaldo J. Santos
Departamento de Matem´ tica-ICEx a Universidade Federal de Minas Gerais http://www.mat.ufmg.br/~regi 27 de novembro de 2010

2

Sum´ rio a 1

Defini¸ ao e Propriedades c˜ Exerc´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ı 3
15

2

Invers˜ o a Exerc´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ı 16
19

3

Convolu¸ ao c˜ Exerc´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ı 20
23

4

Aplica¸ oes as Equa¸ oes Diferenciais Parciais c˜ ` c˜ 4.1 Equacao do Calor em uma barra infinita .
¸˜
4.2 Equacao da Onda em uma Dimens˜ o . . .
¸˜
a
4.3 Problema de Dirichlet no Semi-plano . . .
Exerc´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ı 24
24
25
27
29

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5

Tabela de Transformadas de Fourier

30

6

Rela¸ ao com a S´ rie de Fourier e a Transformada de Fourier Discreta c˜ e

31

7

Respostas dos Exerc´cios ı 35

3

1 Defini¸ ao e Propriedades c˜ f (x)

F fˆ(ω )

Figura 1: Transformada de Fourier como uma “caixa”
´
A transformada de Fourier de uma funcao f : R → R (ou C) e definida por
¸˜
1
F ( f )(ω ) = fˆ(ω ) = √
2π

∞

−∞

e−iωx f ( x )dx.

para todo ω ∈ R tal que a integral acima converge. Representaremos a funcao ori¸˜
´
ginal por uma letra minuscula e a sua vari´ vel por x. Enquanto a transformada de a Fourier ser´ representada pela letra correspondente com um chap´ u e a sua vari´ vel a e a por ω. Por exemplo, as transformadas de Fourier das funcoes f ( x ), g( x ) e h( x ) ser˜ o
¸˜
a
ˆ(ω ), g(ω ) e h(ω ), respectivamente.
ˆ
ˆ