equação fourrier

SÉRIE DE FOURIER Fourier descobriu, no início do século XIX, que qualquer função periódica, por mais complicada que seja, pode ser representada como a soma de várias funções seno e cosseno com amplitudes, fases e períodos escolhidos convenientemente. Assim, escrevemos a série como:
, (1) como essa função possui período fundamental T, sua frequência fundamental é .
Reescrevendo a equação, temos:
, (2) onde os coeficientes , , () são chamados de Coeficientes de Fourier. Agora vamos determinar os Coeficientes de Fourier: a) Determinação de : integramos ambos os membros da equação (2) sobre o intervalo [0,T]: b) Determinação de : multiplicamos ambos os membros de (2) por e integramos sobre o intervalo [0,T]:

Sabendo que a primeira parte da integral se anula e a segunda vale . Assim, temos:

c) Determinação de : multiplicamos ambos os membro de (2) por e integramos sobre o intervalo [0,T]:

De forma análoga ao item anterior, temos:

Ortogonalidade das funções seno e cosseno Relembrando a trigonometria elementar, temos as relações:

Relacionando (4) + (6), temos:

Em particular para e e integrando ambos os membros de (7), temos:
a) Caso m ≠ n.

b) Caso m = n.

Portanto, temos que:

Analogamente, para a relação (6) – (4), chegamos em:

E ainda, relacionando (1) – (3), temos:

Teorema de Fourier
Seja f: R -> R uma função seccionalmente diferenciável e periódica de período T. Então a representação em Série de Fourier de f, converge em cada x e é dada por:

Exemplo: Seja f: R -> R 2π- periódica e tal que f(x)=x² para 0 < x < 2π.

Vamos ter ,
Encontrando , temos:

Então,

Em particular, x=0 é um ponto de descontinuidade, no qual os limites laterais valem f(0+)=0 e f(0-)=4π². Assim,

Logo,

Série de Fourier de Funções Pares e Ímpares
Definição : Uma função real f: R -> R é par se f(-x)=f(x); f é ímpar se f(-x)=-f(x).

a) Série de Fourier de uma função par: Seja f: R -> R