Exercícios resolvidos estatística

Solu¸c˜oes e Resolu¸c˜oes Abreviadas de Alguns
Exerc´ıcios do Cap´ıtulo 4
Exerc´ıcio 4.1 (a)
R
1
−1
fX(x) dx = 1 ,
R 0
−1(1 + k + x) dx +
R 1
0 (1 + k − x) dx = 1 , k = 0.
(b) FX(x) = P(X _ x) =


0 x < −1 x2 2 + x + 0.5 −1 _ x < 0
−x2
2 + x + 0.5 0 _ x < 1
1 x _ 1
.
(c) E[X] = 0.0 pois fX(.) ´e sim´etrica em torno do ponto zero; Var[X] = E[X2] = 1
6 .
(d) Moda (X) = Mediana (X) = 0.0 (pois fX(.) ´e sim´etrica em torno do ponto zero). Seja q1 o valor do 1o quartil. Ent˜ao
FX(q1) = 0.25 , q2 1
2
+ q1 + 0.5 = 0.25 ^ q1 2 (−1, 0) , q1 = −1 + p2 2
.
(e) P(X < 0)P(X > 0) = 1
4 .
Exerc´ıcio 4.2 (a) FX(x) = P(X _ x) =


0 x < 0
5x4 − 4x5 0 _ x < 1
1 x _ 1
.
(b) P(X < 2
3 ) = P(X _ 2
3 ) = 0.462.
(c) Seja Y a vari´avel aleat´oria que designa o lucro por litro. Ent˜ao
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i) P(Y = C1 − C3) = P(1/3 < X < 2/3) = 101/243 e P(Y = C2 − C3) = 142/243.
Assim, supondo C2 < C1:
FY (y) =


0 y < C2 − C3
142
243 C2 − C3 _ y < C1 − C3
1 y _ C1 − C3
.
ii) E[Y ] = 101
243C1 + 142
243C2 − C3.
Exerc´ıcio 4.3 Sejam TB = {a pe¸ca escolhida ´e do tipo B}, TA = ¯ TB e X = dura¸c˜ao da pe¸ca escolhida. P(TB|X < 0.9) =
P(X < 0.9|TB)P(TB)
P(X < 0.9|TA)P(TA) + P(X < 0.9|TB)P(TB)
= 0.4502.
Exerc´ıcio 4.4 (a) _ = 2 e _ = 1
5 .
(b) Como fX(.) ´e sim´etrica em torno do seu valor esperado e Y ´e uma transforma¸c˜ao linear de X, ent˜ao fY (.) ´e sim´etrica em torno do seu valor esperado, que ´e igual a zero, pelo que
P(Y _ 0) = 0.5.
Exerc´ıcio 4.5 E[L] = C1 + C2E[X] = C1 + 50C2.
Exerc´ıcio 4.6 (a) P(X > 1.5) =
R 3
1.5(−x
3 + 1) dx = 0.375.
(b) E[X] = μX = 133.3 Kg; _X = 62.36 Kg.
(c) Seja S o n´ıvel do stock de tal forma que P(X _ S) = 0.95. Como FX(1) = 1
3 , vem que
S > 1, pelo que FX(S) = 1
3 +
R S
1 (−x
3 + 1) dx = 0.95, i.e., S = 245.23 Kg.
Exerc´ıcio 4.7 (a) FX(x) =


0 x < 0
1 − e−2x x _ 0
.
(b) P(X > 1.5|X >