Exercícios de álgebra 1

Introducao a Algebra ¸˜ ` ´
Grupos e subgrupos – exerc´cios resolvidos ı
A1) Consideremos o conjunto com a operacao ⊕ definida por x ⊕ y = x + y − 5 ¸˜ ´ para quaisquer x, y ∈ . Mostre que G = ( , ⊕) e um grupo abeliano. ´ Solucao: Inicialmente, vamos mostrar que a operacao ⊕ e associativa, tem ele¸˜ ¸˜ mento neutro e todo elemento de G tem inverso. • Para quaisquer x, y, z ∈ G, temos: ◦ x ⊕ (y ⊕ z) = x ⊕ (y + z − 5) = x + (y + z − 5) − 5 = x + y + z − 10 ◦ (x ⊕ y) ⊕ z = (x + y − 5) ⊕ z = (x + y − 5) + z − 5 = x + y + z − 10 Logo, x ⊕ (y ⊕ z) = (x ⊕ y) ⊕ z. • Suponhamos que ⊕ tenha elemento neutro e. Ent˜ o e ⊕ x = x para todo x ∈ a o que implica em e + x − 5 = x de onde obtemos e = 5. (Podemos agora comprovar que e = 5 e realmente o elemento neutro dessa opera¸ ao: e ⊕ x = ´ c˜ 5 ⊕ x = 5 + x − 5 = x e x ⊕ e = x + 5 − 5 = x para todo x ∈ .) • Dado x ∈ , vamos determinar y = x−1 . Por definicao, temos x ⊕ y = e, ou ¸˜ ´ seja, x + y − 5 = 5. Da´, obtemos que y = −x + 10, isto e, x−1 = −x + 10. ı −1 (Comprovando: x ⊕ x = x ⊕ (−x + 10) = x + (−x + 10) − 5 = 5 = e e x−1 ⊕ x = (−x + 10) ⊕ x = (−x + 10) + x − 5 = 5 = 5. Logo, (−x + 10) e realmente ´ o inverso de x com rela¸ ao a opera¸ ao ⊕.) c˜ ` c˜ ´ Agora, vamos mostrar que ⊕ e comutativa: • x ⊕ y = x + y − 5 = y + x − 5 = y ⊕ x para quaisquer x, y ∈ G. ´ Fica mostrado assim que (G, ⊕) e um grupo abeliano.

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√ A2) Consideremos o conjunto A = {a + b 3 ∈ a) Dˆ exemplo de elementos desse conjunto; e

∗

| a, b ∈

}.

´ b) Verifique se ele e fechado com relacao a operacao de multiplicacao usual dos ¸˜ ` ¸˜ ¸˜ n´ meros reais; u ´ c) Verifique se A e um grupo multiplicativo abeliano. Solucao: ¸˜ a) Todo racional n˜ o nulo como 1, −1, 1 , − 3 pertencem ao conjunto A. Al´ m desa e 2 7 √ √ ses, qualquer combinacao do tipo a + b 3 0 com a, b ∈ como 1 + 2 3, ¸˜ √ √ √ √ − 3, 5 3, −8 − 4 3, 1 + 11 3 tamb´ m pertencem a A. e 3 9 √ √ b) Sejam x = a + b 3 e y = c + d 3 dois elementos de A. Vamos verificar se o produto xy tamb´ m