Exercicios resolvidos Calculo A
2946 palavras
12 páginas
6.11 – EXERCÍCIOS – pg. 2692
2
2
1
1
1. Calculando as integrais I1 = ∫ x dx , I 2 = ∫ x dx e I 3 = ∫ dx , obtemos:
2
1
I2 =
7
3
, I 2 = e I 2 = 1 . Usando estes resultados encontre o valor de:
3
2
a)
2
2
2
1
1
1
∫ (6 x − 1)dx = 6∫ x dx − ∫ dx
3
= 6. − 1 = 8
2
2
b)
2
2
x3 x2
2 x + 2 x dx = 2 + 2
3
2 1
∫ [2 x(x + 1)]dx = ∫ (
1
1
)
2
7
3 14
14 + 9 23
= 2. + 2. = + 3 =
=
3
2 3
3
3
2
c)
2
∫ (x − 1) (x − 2) dx = ∫ (x
1
2
)
− 3 x + 2 dx
1
7
3
− 3. + 2 .1
3
2
7 9
14 − 27 + 12 − 1
= − +2=
=
3 2
6
6
=
2
d)
2
∫ (3x + 2)
2
(
)
dx = ∫ 9 x 2 + 12 x + 4 dx
1
1
7
3
+ 12 . + 4 .1
3
2
= 21 + 18 + 4 = 43
=9.
2. Sem calcular a integral, verifique as seguintes desigualdades:
3
a)
∫ (3x
1
2
)
3
(
)
+ 4 dx ≥ ∫ 2 x 2 + 5 dx
1
3x 2 + 4 ≥ 2 x 2 + 5
3x 2 + 4 − 2 x 2 − 5 ≥ 0 x2 −1 ≥ 0
(x − 1) (x + 1) ≥ 0
⇒ x ∈ (− ∞,−1] ∪ [1,+∞ )
480
Portanto vale para x ∈ [1,3].
−1
b)
−1
dx
1 x
∫− 2 x ≤ −∫2 − 2 − 4 dx
1
1 x
≤− − x 2 4
1 x
1
+ ≤− x 4
2
2
4+ x
1
≤−
4x
2
2
4+ x
1
− ≤0
4x
2
2
4 + x + 2x
≤0
4x
1º Caso: 4 x < 0 e x 2 + 2 x + 4 ≥ 0 x<0 e
(x + 2 )2 ≥ 0
Portanto vale a desigualdade em [−2,−1].
π
c)
∫ sen x dx ≥ 0
0
sen x ≥ 0 para x ∈ [0, π ]
3π
2
d)
∫ − cos x dx ≥ 0 π 2
π 3π
π 3π
Temos cos x ≤ 0 para x ∈ , . Portanto, − cos x ≥ 0 para x ∈ , .
2 2
2 2
1
3. Se
∫
0
5
5 x 2 dx = , calcular
7
0
∫
1
5
0
∫
5
t 2 dt
1
1
1
0
0
t 2 dt = − ∫ 5 t 2 dt = − ∫ 5 x 2 dx =
−5
.
7
481
π
π
2
9π
4. Se ∫ 9 cos t dt =
, calcular ∫ − cos 2 θ dθ .
4
0
0
2
2
π
π
2
2
π
π
12
1 9π
2
2 θ θ
−
d
=
− t dt
=
−
=− . cos cos
9 cos 2 t dt = −
∫0
∫0
∫
90
9 4
4
5. Verificar se o resultado dos seguimentos integrais é positivo, negativo ou zero, sem calculá-las. 20
a)
dx
∫x+2
0
f ( x) =
1 x+2 1
≥ 0 ⇒ x + 2 > 0 ⇒ x > −2 x+2 1
> 0 para x ∈[0,20]. x+2 Resultado positivo, porque f ( x) =
2π
b)
∫ sen t dt
0
É nulo pois
2π
π
0
0
2π
∫ sen t dt = ∫ sen t dt + ∫ sen t dt e π 2π
π
∫ sen t dt = − ∫