CalA 5

432

5.16 – EXERCÍCIO – pg. 239
1.

Determinar o polinômio de Taylor de ordem n, no ponto c dado, das seguintes funções:

a) f ( x) = e x / 2 ; c = 0 e 1; n = 5 x e2 f ′( x) =
2
x

x

e2 e2 f ′′( x) =
=
2.2 4 x e2 f ′′′( x ) =
8
x

e2 f ( x) =
16
IV

x

e2 f ( x) =
32
V

No ponto c = 0 :
1
1 2
1 3
1 4
1 5 x+ x + x + x + x 2
4.2!
8.3!
16.4!
32.5!
1
1
1 3
1 4
1
= 1+ x + x2 + x + x + x5 2
8
48
384
3840

P5 ( x) = 1 +

No ponto c = 1 :
1
1 1
1 12
1 12
1 12
1 12
P5 ( x) = e 2 + e 2 ( x − 1) + e ( x − 1) 2 + e ( x − 1) 3 + e ( x − 1) 4 + e ( x − 1)5
2
4.2!
8.3!
16.4!
32.5!
1 
1
1
1
1
1

= e 2 1 + ( x − 1) + ( x − 1) 2 + ( x − 1) 3 +
( x − 1) 4 +
( x − 1)5 
8
48
384
3840
 2


b)

f ( x) = e − x ; c = −1 e 2; n = 4 f ′( x) = −e − x f ′′( x) = e − x f ′′′( x) = −e − x f IV ( x) = e − x f V ( x ) = −e − x

433
Para c = −1 : e1 e1 e1 ( x + 1) 2 − ( x + 1) 3 + ( x + 1) 4
2!
3!
4!
e e e
= e − e ( x + 1) + ( x + 1) 2 − ( x + 1) 3 + ( x + 1) 4
2
6
24
2
3

( x + 1)
( x + 1)
( x + 1) 4 

= e 1 − ( x + 1) +
−
+
2
6
24 


P4 ( x) = e + (−e1 ) ( x + 1) +

Para c = 2 : e −2 e −2 e −2
( x − 2) 2 −
( x − 2) 3 +
( x − 2) 4
2!
3!
4!

( x − 2) 2 ( x − 2) 3 ( x − 2) 4 

= e − 2 1 − ( x − 2) +
−
+
2!
3!
4! 


P4 ( x) = e − 2 − e − 2 ( x − 2) +

c) f ( x) = ln(1 − x); c = 0 e 1 / 2; n = 4

−1
1− x
(1 − x).0 + (−1)
−1
= f ′′( x) =
2
(1 − x)
(1 − x) 2
2(1 − x).(−1)
−2
= f ′′′( x) =
4
(1 − x)
(1 − x) 3 f ′( x) =

2.3(1 − x) 2 .(−1)
−6
= f ( x) =
6
(1 − x)
(1 − x) 4
IV

f V ( x) =

6.4(1 − x) 3 .(−1)
− 24
=
8
(1 − x)
(1 − x) 5

Para c = 0 :
P4 ( x) = 0 +

−1
1
2
6
x − x2 − x3 − x4
1
2!
3!
4!

Para c = 1 / 2 :
2

3

1 4 
1  16 
1  96 
1

P4 ( x) = − ln 2 − 2 x −  −  x −  −  x −  −  x − 
2  2! 
2
3! 
2
4! 
2


d) f ( x) = sen x; c = π / 2; n = 8

4

434 f ′( x) = cos x = f V f ′′( x) = − sen x = f VI f ′′′( x) = − cos x = f VII f IV ( x) = sen x = f VIII
2

4

6

π 1 π  1 π  1 π (−1) 
P8 ( x) = 1 +
x −  + x −  − x −  + x − 
2! 
2 