CalA 5

313

5.10 – EXERCÍCIO – pg. 215

1.
Em cada um dos seguintes casos, verificar se o Teorema do Valor Médio se aplica.
Em caso afirmativo, achar um número c em (a, b) , tal que f (c) =
a)

f (a) - f (a)
.
b-a
1
f (x) = ; a = 2, b = 3 x A função f ( x) =

1 é contínua em [2,3] . x 1 f ( x − ∆x) − f ( x) é derivável em (2,3) , pois o lim = existe para todo x
∆
x
→
0 x ∆x no intervalo (2,3).
A função f ( x) =

Temos, f ′( x) =

−1 x2 1 1
−
−1 b a f ′(c) = 2 = c b−a a−b −1
= ab
2
c b−a −1 a − b 1
.
= c2 ab b − a
− 1 − (b − a )
=
c 2 ab (b − a )

1
1
=
2
c ab 2 c = ab c = ab c = 2 .3 c= 6

Interpretação geométrica: A figura que segue mostra que a reta tangente no ponto c, representada pela cor azul é paralela à reta secante que passa nos pontos (a, f(a)) e (b,f(b)), representada na cor verde.

314 f (x)

x
-7

b)

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

1 f ( x) = ; a = −1, b = 3. x Não se aplica o Teorema, pois a função não é contínua em [−1,3].

c)

f (x) = x 3 ; a = 0, b = 4.
A função é derivável em (0,4) e contínua em [0,4] , pois f é do tipo polinomial.

⇒ ∃ c tal que: f ′(c) = 3c 2 =

43 − 03
4
4 3 b3 − a 3
⇒ 3c 2 =
∴ c=
=
.
4−0
3 b−a 3

Interpretação geométrica: A figura que segue mostra que a reta tangente no ponto c, representada pela cor azul, é paralela à reta secante que passa nos pontos (a, f(a)) e (b,f(b)), representada na cor verde.

315 f (x)
9
8
7
6
5
4
3
2
1

x
-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

-1
-2
-3
-4

d)

f ( x) = x 3 ; a = −2, b = 0.

A função é derivável em (−2,0) e é contínua em [−2,0] , pois f é do tipo polinomial. Assim,

03 − (−2)3
0 − (−2)
8
3c 2 = = 4
2
4
−2 −2 3
.
c2 =
∴ c=
=
3
3
3

f ′(c) = 3c 2 =

Interpretação geométrica: A figura que segue mostra que a reta tangente no ponto c, representada pela cor azul, é paralela à reta secante que passa nos pontos (a, f(a)) e (b,f(b)), representada na cor verde.

316 f (x)
9
8
7
6
5
4
3
2
1

x
-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

-1
-2
-3
-4

e)

f (x) = cos x; a = 0, b = π/2.
 π
 π
A função f é