CalA 4 16

241

4.16 – EXERCÍCIOS – pg. 159
1. Determinar a equação da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos indicados.
Esboçar o gráfico em cada caso.
(a) f ( x ) =

1
1
; x = , x = 3. x 3

m( x) = f ′( x) =

−1 x2 1
Considerando x = ,
3
−1
−1
1 m =
= −9 .
2 =
1
 3 1
 
 
9
3
1
p/ x = ⇒ y = 3.
3
Assim,
1
 y − 3 = −9  x − 
3
 y − 3 = −9 x + 3
9x + y − 6 = 0

Considerando x = 3 ,
−1 −1 m (3) = 2 =
3
9

1 −1
=
( x − 3)
3 9
9 y − 3 = −x + 3 y− x + 9y − 6 = 0
Segue o gráfico:

p/ x = 3⇒ y =

1
3

242 f (x)
4
3
2
1

x
-5

-4

-3

-2

-1

1
-1
-2
-3
-4

(b) f ( x ) =

1
, a ∈ R − {−2,4} ; x = −2, x = 4. x−a Temos que: m ( x) = f ′( x) =

−1
.
( x − a)2

Para x = −2 temos:
−1
−1 m ( − 2) =
=
2 .
2
( −2 − a )
(2 + a)
1
−1 p / x = −2 ⇒ y =
=
−2−a 2+a
Assim,
1
−1
y+
=
( x + 2)
2 + a (2 + a ) 2

(2 + a) 2 y + 2 + a = − x − 2 x + ( 2 + a ) 2 y + 4 + a = 0.

Para x = 4 temos:
−1
m ( 4) =
(4 − a ) 2 p/ x = 4⇒ y =

1
4−a

2

3

4

5

243
Assim,
1
−1
y−
=
( x − 4)
4 − a ( 4 − a) 2
(4 − a ) 2 y − ( 4 − a ) = − x + 4 x + ( 4 − a ) 2 y − 8 + a = 0.
Segue o gráfico: f (x)

Usando a = 3

4
3
2
1

x
-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

-1
-2
-3
-4

(c) f ( x ) = 2 x ; x = 0, x = 3, x = a, a > 0.
Temos que:
1
m ( x) = f ′( x) =
.
x
Para x = 0 , temos f (0 + ∆x) − f (0)
2 ∆x − 0 lim = lim+
=∞
∆x →0 +
∆
x
→
0
∆x
∆x
Portanto, usando 4.1.2, segue que x = 0 é a equação da reta tangente.

Para x = 3 temos:
1
m (3) = e 3 p/x = 3⇒ y = 2 3 .
Assim,

244

y−2 3 =

1
( x − 3)
3

3y − 6 = x − 3 x − 3y + 3 = 0

Para x = a temos:
1
m (a ) = e a p / x = a ⇒ y = 2 a,
Assim,
1
(x − a ) y−2 a = a a y − 2a = x − a ou
Segue o gráfico.

a > 0.

x − a y + a = 0.

f (x)
4
3
2
1

x
-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

-1
-2

Usando a=1/2
-3
-4

2. Encontrar a equação da reta tangente à curva y = x3 − 1, que seja perpendicular à reta y = − x. m ( x) = 3x 2

245
A declividade da reta dada é m = −1 . Assim a declividade da perpendicular à reta y = − x será m = 1 . Temos,

3x 2 = 1 x2 =

1
3