CalA 6 13
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6.13 – EXERCÍCIOS – pg. 278Nos exercícios de 1 a 29 encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas.
1.
1 x= ,x=
2
y e y = −x + 2
A Figura que segue mostra a região dada. y 2
1
x
1
1
1
2
2
2
x2 A1 = ∫ (− x + 2 ) dx = − + 2 x
2
1
1
=−
=
1
2
1
1
1 − + 2 1 −
4
2
5
8
1
x3
A2 = ∫ x dx =
3 1
1
1
2
2
2
1 1 1
= − .
3 3 8
7
=
24
A=
2.
5 7 15 − 7 8 1
−
=
=
= u.a
8 24
24
24 3
y 2 = 2x e x2 = 2 y
A Figura que segue mostra a região dada.
502
y
2
1
x
1
2
2
2
A1 = ∫
0
x
2
8
2 x dx = 2 = 2
23 =
3
3
3
2 0
3
2
2
x2
1 x3
1 3 8
A2 = ∫ dx = . = (2 ) =
2
2 3 0 6
6
0
2
A = A1 − A2 =
3.
8 8 4
− = u.a
3 6 3
y = 5 − x2 e y = x + 3
A Figura que segue mostra a região dada. y 5
4
3
2
1
x
-2
-1
1
2
503
5 − x2 = x + 3 x2 + x − 2 = 0
−1± 1+ 8
2
−1+ 3 x′ =
=1
2
−1− 3 x′′ =
= −2
2
x=
1
x3
1
A1 = ∫ 5 − x dx = 5 x − = 5 (1 + 2 ) − (1 + 8)
3 −2
3
−2
1
(
2
)
= 15 − 3 = 12
1
x2 1
+ 3 x = (1 − 4 ) + 3 (1 + 2 )
A2 = ∫ ( x + 3) dx =
2
−2 2
−2
1
1
. (− 3) + 3 . 3
2
−3
− 3 + 18 15
=
+9=
=
2
2
2
=
A = 12 −
4.
y=
15 24 − 15 9
=
= u.a
2
2
2
1 2 x e y=6
6
A Figura que segue mostra a região dada. y 6
5
4
3
2
1
x
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
504
6
A1 = ∫ 6 dx = 6 x ]− 6 = 6 (6 + 6 ) = 72
6
−6
6
1
1 x3
1
(216 + 216 ) = 432
=
A2 = ∫ x 2 dx =
6
6 3 − 6 18
18
−6
6
= 24
A = 72 − 24 = 48 u.a
5.
y = 1 − x 2 e y = −3 y 1
x
-2
-1
1
2
-1
-2
-3
2
A=
∫ (1 − x
2
)
− (−3) dx =
−2
6.
∫ (4 − x ) dx
2
−2
2
x
32
1
= 4(2 + 2 ) − (8 + 8) =
u.a
3 −2
3
3
3
= 4x −
2
x + y = 3 e y + x2 = 3
A Figura que segue mostra a região dada.
505
y
3
2
1
x
1
1
A1 = ∫
0
2
3
1
x3
3 − x dx = 3 x −
3 0
(
2
)
1
(1 − 0)
3
1 9 −1 8
= 3− =
=
3
3
3
= 3 (1 − 0 ) −
1
x2
A2 = ∫ (3 − x ) dx = 3 x −
2 0
0
1
= 3−
A=
7.
1 6 −1 5
=
=
2
2
2
8 5 16 − 15 1
− =
= u.a
3 2
6
6
x = y 2 , y − x = 2, y = −2 e y = 3
A Figura que segue mostra a