CalA 8 7
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8.7 – EXERCÍCIOS – pg. 359Nos exercícios de 1 a 5, determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos x, da região R delimitada pelos gráficos das equações dadas.
1. y = x + 1 , x = 0 , x = 2 e y = 0 y 3
2
R
1
x
1
(x + 1)3 v = π ∫ ( x + 1) dx = π .
2
2
2
0
3
=
0
π
3
2
(27 − 1) = 26π u. v.
3
2. y = x 2 + 1 , x = 0 , x = 2 e y = 0 y 5
4
3
2
1
R x 1
2
664
2
(
2
)
2
(
)
v = π∫ x + 1 dx = ∫ x 4 + 2 x 2 + 1 dx
2
0
0
2
x5
x3
= π + 2 + x
3
5
0
32 16
206π
= π + + 2 =
u. v.
3
15
5
3. y = x 2 e y = x 3 y 1
R x 1
1
[(
) − (x ) ]dx
(
)
v = π∫ x 2
2
3 2
0
1
= π ∫ x 4 − x 6 dx
0
1
x5 x7
1 1 2
= π − = π − = π u. v.
5
7
5
7
35
0
4. y = cos x , y = sen x , x = 0 e x =
π
4
665
y
1
R
x
-π/4
π
4
(
π/4
π/2
)
v = π ∫ cos 2 x − sen 2 x dx
0
π
1 + cos 2 x 1 − cos 2 x
= π∫
−
dx
2
2
0
π
4
4
= π ∫ cos 2 x dx
0
π
4
1
= π sen 2 x
2
0
=
π
2
π π
sen = u. v.
2 2
5. y = x 3 , x = −1 , x = 1 e y = 0 y 1
R
-1
x
1
-1
666
1
( )
2
v = 2π ∫ x 3 dx
0
1
= 2π ∫ x 6 dx
0
x7
= 2π
7
1
= 2π
0
1 2
= π u. v.
7 7
Nos exercícios de 6 a 10 determinar o volume do solído gerado pela rotação, em torno do eixo dos y, da região R, delimitada pelos gráficos das equações dadas.
6. y = ln x , y = −1 , y = 2 e x = 0 y 2
1
R
x
1
2
3
4
5
6
7
8
-1
2
( )
2
v = π ∫ e y dy
−1
2
1
= π ∫ e 2 y dy = π e 2 y
2
−1
=
2
−1
π 4 π 1 e − e − 2 = e 4 − 2 u.v
2
2 e
(
)
7. y = x 2 , y = x 3
667
y
1
R x 1
13 2 1 2 2 v = π∫ y − y dy
0
1
1
= π∫ y
0
2
3
− y dy
1
53
y y2
3 1
=π −
= π
−
2
5
5 2
3
0
6−5 π
=π
=
u. v.
10
10
8. x = y 2 + 1 , x =
1
, y = −2 e y = 2
2
y
2
1
R
x
1
2
3
4
5
-1
-2
668
2
2
2
1 v = 2π ∫ y + 1 − dy
2
0
2
(
)
2
1
= 2π ∫ y 4 + 2 y 2 + 1 − dy
4
0
2
3
= 2π ∫ y 4 + 2 y 2 + dy
4