Exercicios Newton e Lagrange

Elementos de
Análise Numérica
Turma Bioengenharia A

Interpolação
 Polinómio de Newton
 Polinómio de Lagrange

Interpolar uma função f(x) consiste em aproximar essa função por uma outra função g(x), escolhida entre um conjunto de funções conhecidas e de modo a satisfazer algumas condições. Interpolação de Newton
Exercício 1
Usando a forma de Newton, o polinômio P(x) que interpola f(x) nos pontos dados em seguida é: x0 x1

x2

x

-1

0

2

f(x)

4

1

-1

Tabela das diferenças divididas Calculando as diferenças divididas pela formula geral: Ordem 0 f[x0]=f(x0) Ordem 1 f[x1,x0]=f(x1)-f(0)/(x1-x0) Ordem 2 f[x2,x1,x0]= E

posteriormente reescrevemos facilmente o polinômio interpolador em sua forma final:
Formula do polinómio para ordem 2:

P(x) =4+(x+1)(-3)+(x+1)(x-0)2/3
Ou
P(x)= 2/3 -7/3x +1

Lagrange
 O método de Lagrange é uma reformulação do interpolador Newtoniano, mas evita o cálculo das diferenças divididas finitas intermédias.

 Expressão geral:

Exercício 2
Considere a seguinte tabela de dados. Use o polinómio interpolador de Lagrange para encontrar a curva que melhor intercepta os resultados.

i

x

f(x)

0

-1.0

4.0

1

0.0

1.0

2

2.0

-1.0

Regressão
• Método dos mínimos quadrados

Contrariamente ao problema de interpolação, o método dos mínimos quadrados, é uma método que procura encontrar o melhor ajuste para um conjunto de dados tentando minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre o valor estimado e os dados observados.

Método dos Mínimos
Quadrados
Exercício 3
Numa experiencia foram feitas 6 amostras com os respetivos valores. Qual o polinómio de segundo grau que melhor representa os dados?

Obtendo o valor dos somatórios:



a1=5,0893, a2=0,0515 e a3=-1,1403

Então: g(x)=5,0893+0,0515x -1,1403