Interpolação Numéria

Métodos
Computacionais
Engenharia Mecatrônica

Prof. Emerson Donaisky

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INTERPOLAÇÃO
Quando um conjunto de dados contendo n pontos é dado e um único polinômio é usado para fazer a sua interpolação, esse polinômio fornece valores exatos nos pontos e determina valores estimados entre eles. Quando o número de pontos é pequeno, de forma que a ordem do polinômio seja baixa, os valores interpolados são tipicamente precisos. Entretanto erros maiores podem ocorrer quando um polinômio de ordem elevada é usado para interpolar um grande número de pontos.

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INTERPOLAÇÃO
Exemplo: polinômio de ordem 14 para um conjunto de dados de 15 pontos.
Interpolação
30

20

Rotina para gerar o gráfico:

10

x=2:1:16 y=[20 19.5 19 17 15 10 9 8 7.5 9.5 12.5 16 17 18 21] valor=2:0.01:16; Dados
Usando polyfit
Usando Lagrange
Usando spline

y

0

-10

sai1=polyval(polyfit(x,y,14),valor); sai2=ppval(spline(x,y),valor); plot(x,y,'ro') hold on plot(valor,sai1,'b-.') plot(valor,sai2,'k') axis([0 18 -40 30])

-20

legend('Dados','Usando polyfit','Usando spline',0) xlabel('x') ylabel('y') title('Interpolação') -30

-40

0

2

4

6

8

10 x 12

14

16

18

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INTERPOLAÇÃO
Quando se trabalha com um grande número de pontos, uma melhor interpolação pode ser feita com o uso de vários polinômios de baixa ordem ao invés de um único polinômio de ordem elevada. Cada polinômio de baixa ordem é válido em um intervalo entre dois ou vários pontos. Tipicamente, todos os polinômios utilizados têm a mesma ordem, mas os coeficientes são diferentes em cada intervalo. A interpolação feita desta forma é chamada de interpolação por partes, ou spline.

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INTERPOLAÇÃO
Os três tipos de interpolação spline são:
A linear; f (xi ) = ai ⋅ x + bi =

y i − y i +1 y ⋅ x − y i +1 ⋅ xi
⋅ x + i i +1
, i = 1, 2,K, n − 1 xi − xi +1 xi +1 − xi

A quadrática; f (x i ) = ai ⋅ x 2 + bi ⋅ x + c i , i = 1,