Exercicios 1

GAAL - Lista de Exerc´ıcios

Exerc´ıcio 1: Considere os seguintes vetores em R3 .
V1 = (1, −1, 1)

V2 = (4, −2, 0)

V3 = (0, −1, 2).

(a) Estes vetores s˜ao LI ou LD?
(b) Caso sejam LD, expresse um deles como combina¸c˜ao linear dos demais.

Exerc´ıcio 2: Sejam U , V e W vetores quaisquer de Rn . Mostre que os vetores
R = U + 3V − 2W

,

S = 4U + 7V + 2W

e T = 5U + 8V + 4W

s˜ao linearmente dependentes exibindo explicitamente uma combina¸c˜ao linear nula
(n˜ao trivial) entre R, S e T .

Exerc´ıcio 3: Considere o seguinte subespa¸co de R3 .
W = {(a − b + c, 2a + b + 5c, b + c) ∈ R3 , ∀ a, b, c ∈ R}.
(a) Determine uma base e a dimens˜ao de W .
(b) Complete esta base at´e uma base de R3 .

Exerc´ıcio 4: Considere o seguinte subconjunto de R3 .
W = {(a − b + 5c, 2a + 3b, a + 4b − 5c) ∈ R3 , ∀ a, b, c ∈ R}.
Ele ´e um subespa¸co de R3 ? Se for, determine uma base ortogonal para W .

Exerc´ıcio 5: Considere o seguinte subconjunto de R3 :
W =

V ∈ R3 tal que V ´e ortogonal ao vetor V0 = (2, −1, 1) .

Descreva geometricamente este conjunto W e determine sua equa¸ca˜o geral. Determine tamb´em um par de vetores unit´arios em W e que sejam perpendiculares entre si, ou seja, determine uma base ortonormal de W .

Exerc´ıcio 6: Se V1 = (1, 0, 0, −1) e V2 = (1, 1, 1, 0), considere o seguinte subespa¸co W de R4 :
V ∈ W se, e somente se, V ´e ortogonal a V1 e V ´e ortogonal a V2 .
(a) Calcule uma base e a dimens˜ao de W .
(b) Os vetores V1 e V2 e V3 = (4, 3, 3, −2) s˜ao LI ou LD? Justifique sua resposta.

Exerc´ıcio 7: Seja W o subespa¸co de R4 gerado pelos vetores
V1 = (1, 2, 0, 1), V2 = (0, 1, 1, −1), V3 = (2, 6, 2, 0) e V4 = (−1, 1, 3, −4).
(a) Mostre que os vetores V1 , V2 , V3 e V4 s˜ao linearmente dependentes.
(b) Determine a dimens˜ao de W .
(c) Encontre uma base ortogonal para W .

Exerc´ıcio 8: Seja W o conjunto solu¸ca˜o do sistema linear homogˆeneo AX = 0, em que


1 −1 −1
0
A =  4 −5 −5 −1  .
−2
3
3
1
(a) W ´e um subspa¸co de qual Rn ?
(b) Determine a dimens˜ao e