Exercicio de Calculo

1a Lista de C´lculo II a Prof. Emerson Lima
Escola Polit´cnica de Pernambuco e Resumo
Leia atentamente todas as quest˜es antes de come¸ar a resolu¸˜o. As respostas o c ca obtidas somente ter˜o validade se devidamente justificadas. Evite usar material a diferente do que foi apresentado em sala. Se for utilizar algum material extra, justifique-o adequadamente para valid´-lo. a Quest˜o 1 Use a defini¸˜o da integral definida para mostrar que, quando f : R → a ca n b b−a k(b − a) f (x) dx onde a, b ∈ IR e lim =
IR ´ cont´ e ınua, vale que f a+ n n→∞ k=0 n a assumimos b > a n Quest˜o 2 Use a defini¸ao da integral definida, reescreva o limite lim a c˜

n→∞

f k=1 k n na

forma de uma integral
Quest˜o 3 Use a defini¸˜o da integral definida para calcular a soma a ca lim n→∞

1
1
1
+
+ ··· + n+1 n+2 n+n Sugest˜o: Coloque 1 em evidˆncia na soma acima e use o Teorema Fundamental do a e n C´lculo a b

b

|f (x)| dx assumindo que a, b ∈ IR e b > a

f (x) dx ≤

Quest˜o 4 Prove que a a

a

Quest˜o 5 Use o Teorema Fundamental do C´lculo para calcular a a
a)

d dx x

f (4t + 1) dt

b)

a

Quest˜o 6 Prove que a fun¸˜o f (x) = a ca

d dx g(x)

h(t) dt f (x)

x x ∈Q
I
n˜o ´ integr´vel a e a 1 −x ∈ Q
I

Quest˜o 7 A fun¸ao1 f (x) = x ´ integr´vel em IR? Por que? Calcule, se a resposta a c˜ e a t x dx como fun¸ao de t ∈ IR c˜ for afirmativa, o valor de
0

Quest˜o 8 A fun¸ao f (x) = x − x ´ integr´vel em IR? Por que? Calcule, se a a c˜ e a t x dx como fun¸ao de t ∈ IR c˜ resposta for afirmativa, o valor de
0

x

Quest˜o 9 Considere a seguinte fun¸˜o Si(x) = a ca
0
1

sen(t) d dt. Calcule
Si(sen(x))
t dx A fun¸˜o teto x ´ igual ao maior inteiro menor ou igual a x e a fun¸˜o piso x ´ igual ao menor ca e ca e inteiro maior ou igual a x

2

Quest˜o 10 Calcule as integrais indefinidas: a 1.

x2

3x dx −x+4

16.