exercicios de calculo

Cálculo II
Estudo da integral

CAPÍTULO 1

1. FUNÇÕES

Definição: Considere dois conjuntos: o conjunto A com elementos x e o conjunto B com elementos y. Diz-se que temos uma função de A em B (f: A  B) quando existe uma relação entre os elementos desses dois conjuntos tais que para cada elemento de A há um, e apenas um, correspondente em B.

Seja f: A  B, y = f(x) uma função. Nesse esquema, A é o conjunto domínio da função, ou seja, o conjunto que contém todos os elementos x para os quais a função é definida; B é o contra-domínio da função, ou seja, o conjunto que contém os elementos y que podem estar relacionados aos elementos x; e y = f(x) é a lei da função, ou seja, a regra que associa os elementos x e y.

Considere os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {0, 1, 2, 3, 4} e a função f: A  B, y = x + 1. Essa função pode ser representada como no esquema abaixo:

Nesse caso, D(f) = {1, 2, 3}, Im(f) = {2, 3, 4} e CD(f) = {0, 1, 2, 3, 4}.

É comum expressarmos uma função somente por sua lei, como por exemplo, . Num caso assim, subentende-se que o domínio de f é o maior conjunto possível. Para essa função temos D(f) = [1, +∞).

Classificação de funções: Uma função pode ser classificada em injetora (injetiva), sobrejetora (sobrejetiva) ou bijetora (bijetiva).

Função injetora (ou injetiva) É a função na qual dois elementos diferentes no domínio correspondem sempre a elementos diferentes no contra-domínio.

Função sobrejetora (ou sobrejetiva) É a função na qual o contra-domínio é igual à imagem, ou seja, cada elemento do contra-domínio é correspondido por ao menos um elemento do domínio.

Função bijetora (ou bijetiva) É a função injetora e sobrejetora ao mesmo tempo, ou seja, cada elemento do domínio corresponde a um único elemento do contra-domínio e vice versa. Esse tipo de função é conhecida como função um a um.

Observe os diagramas abaixo que simbolizam funções de A em B.

Função injetora e