Exatas

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1. MATRIZES
Uma tabela de números ou elementos, dispostos em linhas e colunas, forma uma matriz. Exemplos: matriz 3 x 2,

matriz linha 1 x 3,

matriz coluna 4 x 1,

matriz 2 x 2 – matriz quadrada de ordem 2.
De uma maneira geral, pertence o elemento aij.

, onde i representa a linha e j a coluna a que

Exercícios: Escrever, explicitamente, as matrizes:
1)
, onde aij = i.j
2)

, onde bij = i + j

3)

, tal que

4)

, sendo

5)

, onde

Alguns tipos de matrizes:
a) Matrizes iguais:
Se

a=6, b=4 e c=5

b) Matriz nula: a matriz

é nula se todos os seus elementos são iguais a zero.

c) Matriz diagonal:
,
d) Matriz identidade:
,
e) Matriz transposta: B = At

f) Matriz simétrica: aij = aji

,

2

g) Matriz anti-simétrica: aij = - aji
, ou seja At = - A.

,
Exercícios:
1) Se

, determine x, y, m e n

2) Obtenha a matriz transposta de:
a)

c)

b)
3) Dada a matriz
Mt .

tal que

, obtenha o elemento

da matriz

Operações com Matrizes
Adição de Matrizes:

Observações:
1. Somente podemos somar matrizes do mesmo tipo;
2. A definição vale para uma adição de mais de duas matrizes;
3.
;
4. A adição de matrizes tem as seguintes propriedades:
P1 → A + B = B + A → comutativa
P2 → A + (B + C) = (A + B) + C → associativa
P3 → A + 0 = 0 + A = A → tem elemento neutro
P4 → A + (-A) = 0 → tem matriz oposta
P5 → (A + B)t = At + Bt
Exercícios:
1) Sendo

,

e

, calcular:

a) A + B
b) A + B + C
c) B – C
2) Obter m, n, x, y de modo que se verifique a igualdade:

3) Construir a matriz X tal que X + A = B, sabendo que:

Multiplicação de um Número Real por uma Matriz:
Propriedades (onde a, b € R):

.

3

P1 → a.(b.A) = (a.b).A
P2 → a.(A + B) = a.A + a.B
P3 → (a + b).A = a.A + b.A
P4 → 1.A = A.1 = A
Exemplo:

Exercícios:
1) Dadas as matrizes

. Calcular

2) Tendo as matrizes:

, obter a matriz X, tal que

3X + A – B = C.

Multiplicação de Matrizes: