Exatas

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CAPÍTULO 1
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS GERAIS

Toda equação diferencial envolve basicamente uma função desconhecida ( diferenciável ) e uma
( ou mais ) de suas derivadas.
Podemos classificar uma equação diferencial quanto a sua ordem, que nada mais é do que a ordem da mais alta derivada presente na equação.
Exemplos :

=

Equação diferencial de 1ª ordem

= +

=

Equação diferencial de 1ª ordem

Não confunda com

y” + y’ – 6y = 0

.

Equação diferencial de 2ª ordem

Equação diferencial de 2ª ordem

Em geral, chamamos de solução da equação diferencial, a função y = f(x) ( por exemplo ) de forma que y = f(x) e/ou suas derivadas satisfaçam a equação diferencial.

Exemplo :
● Seja a equação diferencial y’ + 3y = 0. Tomemos y = e-3x + C logo, a derivada é y’ = -3e-3x, daí substituindo em y’ + 3y = 0 sem a constante “C”, temos (-3e-3x) + 3(e-3x) = -3e-3x - 3e-3x = 0, logo, y = e-3x é uma solução da equação diferencial de 1ª ordem.
● Testando agora y = 4e-3x + C, temos y’ = -12e-3x, substituindo em y’ + 3y = 0 sem a constante
“C”,

temos (-12e-3x) + 3(4e-3x) = -12e-3x + 12e-3x = 0. Veja então que qualquer constante

multiplicativa “k” agregada à solução y = f(x) = e-3x irá satisfazer a equação diferencial, logo temos que y = ke-3x + C é solução geral ( Família de soluções ) da equação diferencial apresentada.

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Na maioria dos problemas de equações diferenciais, não estamos interessados na solução geral, mas sim numa solução específica que satisfaça as chamadas “condições iniciais” ou “condições de contorno”; tais problemas são chamados de “problemas de valor inicial”.
2−c e t

● Verificaremos agora que y = 2+c e t é solução de

dy dt 1

= 2 y 2 − 1 para qualquer valor de “c”;

após isto, encontre uma solução da equação diferencial acima que satisfaça a condição inicial onde t = 0 e y = 3.

Resolução :

Temos ...
2 −c e t

y=

2 +c e t

∴

dy dt −c e