Euclidiana

Este documento se encontra dispon´ em: ıvel http : //hoowsblog.blogspot.com.br Compilado dia 07/10/2012.

[e-mail] Diego Oliveira. Livro: Geometria Euclidiana Plana (Jo˜o Lucas Marques Barbosa) a

EXERC´ ICIO PAGINA 7 1. Sobre uma reta marque quatro pontos A, B,C e D, em ordem, da esquerda para a direita. Determine: a) AB∪BC b) AB∩BC c) AC∩BD d) AB∩CD e) SAB ∩ SBC f) SAB ∩ SAD g) SCB ∩ SBC e) SAB ∪ SBC Solu¸˜o: ca a) AC b) B c) BC d) e) SBC f) SAB g) BC h) SAB

2. Quantos pontos comuns a pelo menos duas retas pode ter um conjunto de 3 retas no plano? E um conjunto de 4 retas do plano? Solu¸˜o: ca Vamos considerar primeiro o caso de 3 retas r1 , r2 e r3 que formar˜o os pontos Pij como na a tabela abaixo: • r1 r2 r3 r1 −− P21 P31 r2 P12 −− P32 r3 P13 P23 −−

1

Agora contemos todos os pontos da tabela. A tabela possui trˆs linhas e trˆs colunas logo o numero de elementos ´ 3 · 3. e e e Os elementos das diagonais s˜o nulos (pois as retas n˜o podem se interceptar com ela mesma), a a assim o numero de elementos passa a ser 3 · 3 − 3 Como os elementos se repetem duas vezes na tabela (P12 = P21 e assim por diante), ent˜o a 3(3·−1) = . 2 n(n−1) 2

(3·3−3) 2

Se tiv´ssemos n retas com racioc´ an´logo chegar´ e ınio a ıamos a formula de retas. Assim para n=3 temos 3 pontos e para n=4 temos 6 pontos.

onde n ´ o numero e

3. Prove o item (b) da proposi¸˜o (1.4). ca Solu¸˜o: ca Da defini¸˜o de Semi reta vem: ca SAB = {AB e x| B est´ entre A e X} a SBA = {BA e x | A est´ entre B e X } a de modo que se torna evidente que AB ∈ SAB ∩ SBA Agora imagine um ponto D tal que d∈ SAB ∩ SBA e D∈ AB ent˜o pode ocorrer trˆs casos: / a e • A-B-D: (B est´ entre A e D), nesse caso D∈ SAB mas D notinSBA a • D-A-B: nesse caso D ∈ SAB mas D ∈ SAB / ou seja n˜o existe um ponto D ∈ AB e ∈ SAB ∩SBA , concluindo se assim que SAB ∩SBA = AB. a /

4. Prove a afirma¸˜o feita, no texto, de que existem infinitos pontos em um segmento. ca Solu¸˜o: ca Dado dois