Estrategias para testar series
840 palavras
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Teste da RaizSe lim
n
|a n | L 1 então a n é (absolutamente) convergente.
Se lim
n
|a n | L 1 então a n é divergente.
Se lim
n
|a n | 1 então não podemos afirmar nada.
n
n
n
Teste a convergência da série
lim
n
n
|a n | lim n
lim n
n
2n
3
n
3n 2
2n 3
3n 2
2
3
A série Converge
2n 3
3n 2
n
Estratégias Para Testar Séries
Já vimos vários processos para testar séries. Isto é verificar se uma série é convergente ou divergente. Vamos recordar o que já estudamos.
Série Geométrica
É uma série do tipo arn
converge para | r | < 1
diverge para | r | ≥ 1
Série Harmônica
1
1 1
1 ..... n 2 3
A série harmônica diverge
p-série =
converge para p > 1
diverge para p ≤ 1
1 np Teste da Integral
Suponha que f seja uma função contínua, positiva e decrescente em [1, +∞) e seja an = f(n). Então,
Se fxdx for convergente a n é convergente.
1
Se fxdx for divergente a n é divergente.
1
Teste da Divergência
Se
lim an 0 n
ou
Então an diverge
lim an não existir n
Teste da Comparação
Suponha que an e bn sejam séries com termos positivos.
i) Se bn for convergente e an ≤ bn para todo n, então an é convergente. ii) Se bn for divergente e an > bn para todo n, então an é divergente.
Teste da Comparação no Limite
Sejam an e bn sejam séries com termos positivos. Se
a n lim
c bn n
c, um número finito, então ambas convergem ou ambas divergem.
Teste da Série Alternada
.
Considere a série alternada
1 n 1b n b 1 b 2 b 3 b 4 . . . . com b n 0. Se
n 1
i) b n 0 ii) b n 1 b n , ii) lim b n 0. n
Então a série alternada é convergente.
Teste da Razão
.
Se lim
a n 1 an L 1 então a n é (absolutamente) convergente.
Se lim
a n 1 an L 1 então a n é divergente.
Se lim
a n 1 an 1 então não podemos afirmar nada.
n
n
n
Teste da Raiz
Se lim
n
|a n | L 1 então a n é (absolutamente)