series

Estratégia para Testar Séries
Não existem regras certeiras e rápidas para decidir qual teste aplicar a uma série para verificar convergência ou divergência. De fato não é razoável aplicar uma lista de testes em uma ordem específica até um deles funcionar.Num primeiro momento, estude a factibilidade de provar que limn→∞ an = 0, pois se este Teste da divergência for satisfeito, então a série já diverge de cara. Por exemplo, con∞ n2 Temos que: siderando a série
5n2 + 4 n=0 n2 n→∞ 5n2 + 4
1
1
= lim
=0
4 = n→∞ 5 + 2
5
n

lim an =

n→∞

lim

Assim a série diverge pelo Teste da Divergência. Quando não conseguimos aplicar o Teste da divergência facilmente ou quando ele falha, então ainda não estamos em condições de dizer nada sobre a convergência ou divergência da série. Portanto uma proposta interessante consiste em classificar a série de acordo com a sua forma. 1
1. Se a série for da forma
, ela é uma série p, e sabemos que ela converge np se p > 1 e diverge se p ≤ 1.
2. Se a série tiver a forma arn−1 ou arn , ela é uma série geométrica que converge se |r| < 1 e diverge se |r| ≥ 1. Algumas manipulações algébricas, eventualmente podem ser necessárias para deixar a série nesta

1

forma. Vejamos um exemplo:
∞

n=0

2n−1
=
3n

∞

n=1
∞

2n 2−1
3n
2−1

= n=0 ∞

−1

=

2 n=0 2n
3n
2
3

n

3. Se a série tiver uma forma que é semelhante a uma série p ou uma série geométrica, então um dos testes de comparação deve ser considerado. Em particular, se an for uma função racional ou uma função algébrica de n, então a série deve ser comparada com uma série p. Vejamos um exemplo:
∞
n2 + 2 n4 + 5 n=1 Nós podemos fazer o denominador ficar menor simplesmente tirando o +5.
Vejamos,
n2 + 2 n2 + 2
<
n4 + 5 n4 Agora observe que
∞

n=1

n2 + 2
=
n4

∞

n=1
∞

= n=1 ∞

∞

n2
2
+
4
n n4 n=1
∞

2
1
+
2
n n4 n=1

n2 + 2 é a soma de duas séries-p convergentes n4 n=1