Series

SEQÜÊNCIAS E SÉRIES
1. CÁLCULO SOMATÓRIO
Consideremos a seguinte soma indicada : 0 + 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + ... + 100. Podemos observar que cada parcela é um número par e portanto pode ser representada pela forma 2n, neste caso, com n
50

variando de 0 a 50. Esta soma pode ser representada abreviadamente por: com n variando de 0 a 50”. A letra grega

∑ 2.n , que se lê: “somatório de 2n n= 0

∑

que é o esse maiúsculo grego (sigma) é denominada sinal de

somatório e é usada para indicar uma soma de várias parcelas. n Seja {a1, a 2 , a 3, ..., a n} um conjunto de n números reais, o símbolo

∑a

i

representa a sua soma, isto

i =1

n

é,

∑a

i

= a 1 + a2 + a 3 + ... + a n .

i =1

n

Em

∑a

i

a letra i é denominada índice do somatório (em seu lugar, pode figurar qualquer outra

i =1

letra) e s valores 1 e n, neste caso, são denominados, respectivamente, limites inferior e superior .
E1)Desenvolva os seguintes somatórios:
5

1)

∑

∞

( x 2 − x)

2)

∑

5

( −1) j . j

3)

j= 2

x =1

∑ (−1)

3)

2
3
4
5
10
+
+
+
+ ... +
1 .3 2 .4 3 .5 4.6
9 .11

5
5 
2)  i − i2 

 i= 0  i =0

5

1)

2

n

n= 0

E2)Escreva sob a forma de somatório as seguintes expressões:
1 2 6 24
1) 1 – 3 + 5 – 7 + ...
2) 1 + + + +
2345
E3)Calcule o valor de: n ∑ n!a

∑

.n!

n= 0

∑

1.1. NÚMERO DE PARCELAS DO SOMATÓRIO n Se

∑

i =p

a i = a p + a p + 1 + L + a n , então

n

∑ ai

t em ( n – p + 1 ) parcelas.

i =p

100

E4) Destaque a parcela central e a décima parcela de

∑ (− 1)

n

.3 n .

n= 0

1.2. PROPRIEDADES DO SOMATÓRIO
1 . Somatório de uma constante
Sejam ai = k, com i = p,...,n. n n

∑ k =∑ a i =p

i

= a p + a p +1 + L + a n = k + k + L + k = ( n − p + 1) k

i =p

n

⇒

∑ k = (n − p + 1).k i =p

1

2 . Somatório do produto de uma constante por uma variável
Sejam ka i , com