Espaços métricos - relatório de iniciação científica

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Espacos M´ tricos ¸ e

A reta real define algumas funcoes estudadas em C´ lculo. Uma pequena reflex˜ o revela que no processo ¸˜ a a ´ de limite e em outras situacoes usamos o fato de que em R e definida a funcao distˆ ncia, denotada por d, onde a ¸˜ ¸˜ a ´ distˆ ncia d(x,y)=|x − y|,∀x, y ∈ R. No R3 o caso e semelhante. a Em An´ lise Funcional ser˜ o estudados os espacos e as funcoes mais gerais. Primeiramente, o conceito mais a a ¸ ¸˜ ´ geral e flex´vel de um “espaco” e dado como segue. Inicialmente, e feita a substituicao do conjunto de n´ meros ı ¸ ´ ¸˜ u ´ reais R por um conjunto abstrato X e depois e introduzida em X uma “funcao distˆ ncia” que tem as propriedades ¸˜ a mais fundamentais da funcao distancia em R . Mas, o que significa ser mais fundamental? Essa n˜ o e uma quest˜ o ¸˜ a ´ a t˜ o trivial. De fato, a escolha e a formulacao de axiomas em uma definicao sempre precisam de experiˆ ncia, a ¸˜ ¸˜ e familiaridade com problemas pr´ ticos e uma ideia clara dos objetivos a serem alcancados. No presente caso, o a ¸ ´ a conceito seguinte e b´ sico e importante em An´ lise Funcional e suas aplicacoes. a ¸˜ Definicao 1. Um espaco m´ trico e um par (X,d), onde X e um conjunto e d e uma m´ trica em X, isto e,uma ¸˜ ¸ e e ´ ´ ´ ´ funcao d : M × M −→ R tal que ∀x, y, z ∈ X ser˜ o satisfeitas as seguintes condicoes: ¸˜ a ¸˜ 1. d e valor real, finito e n˜ o negativo a ´ 2. d(x, y) = 0 ⇔ x = y 3. d(x, y) = d(y, x) 4. d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) ´ Um subespaco (Y, d) de (X, d) e obtido se tomarmos um subconjunto Y ⊂ X e restringir d para Y × Y ; ¸ ´ assim a m´ trica em Y e a restricao e ¸˜ d = d|Y ×Y ´ d e chamada a m´ trica induzida em Y por d. e Daremos agora alguns dos exemplos mais importantes de espacos m´ tricos. ¸ e Exemplo 1. Espaco das sequˆ ncias s. Este espaco consiste do conjunto de todas as sequˆ ncias (limitadas ou ¸ e ¸ e n˜ o) de n´ meros complexos e cuja m´ trica e definida por a u e ´
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d(x, y) = j=1 |αj − βj | 1 · 2j 1+|αj − βj | |αj − βj | ≤