EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS

Uma função f(x) diz-se homogênea (português brasileiro) ou homogénea (português europeu) de grau k se:

f \left ( t \mathbf{x} \right ) = t^{k} f\left ( \mathbf{x} \right ) 1
Ou seja, uma função homogênea é aquela que, se sofrer transformação em suas variáveis, resulta em uma outra função que é proporcional à função original.

O conceito de função homogênea é essencial no tratamento da Análise Dimensional. Além disso, é fundamental em física. De acordo com o teorema da homogeneidade, também conhecido como teorema de Vaschy-Buckingam, em toda a expressão, equação ou fórmula física, as dimensões de todos os seus termos devem ser idênticas (equação homogênea).2

Índice [esconder]
1 Exemplos
2 Propriedades
3 Derivadas de funções homogêneas
4 Identidade de Euler
4.1 Exemplo
5 Notas e referências
5.1 Notas
5.2 Referências
Exemplos[editar | editar código-fonte] f \left( x,y \right )=x^2+y^2 é uma função homogênea de grau 2, pois, se multiplicarmos as variáveis por uma constante t, obteremos: f \left ( tx,ty \right )=(tx)^2+(ty)^2=t^2x^2+t^2y^2=t^2(x^2+y^2)=t^2f \left( x,y \right ) f \left( x,y \right )= \frac{x^2}{y^2} é uma função homogênea de grau 0, pois, se multiplicarmos as variáveis por uma constante t, obteremos: f \left ( tx,ty \right )= \frac{(tx)^2}{(ty)^2} = \frac{t^2x^2}{t^2y^2}= t^0 \times \frac{x^2}{y^2} =t^0f \left( x,y \right )=f \left( x,y \right )
Propriedades[editar | editar código-fonte]
Uma função homogênea algébrica u de duas variáveis (x,y) pode ser escrita como u = x^k \phi(\frac{y} {x})\, 3

Analogamente, para uma função de várias variáveis (x, y, z, ...) pode-se mostrar que u = x^k \phi(\frac{y}{x}, \frac{z}{x}, \ldots)\, 3

Derivadas de funções homogêneas[editar | editar código-fonte]
Se f \left ( x_1, x_2, ..., x_n \right ) é homogênea de grau ''h'', então, para qualquer n, a função de derivada parcial \frac{\partial f \left ( x_1, x_2, ..., x_n \right )}{\partial x_n} é homogênea de grau (h-1) 4 Nota 1