Equa Es Diferenciais Material

Pontif´ıcia Universidade Cat´olica de Minas Gerais
Curso de Equa¸c˜oes Diferenciais
Conte´
udo abordado: Defini¸c˜ao e classifica¸c˜ao das equa¸c˜oes diferenciais.

´ toda equa¸c˜
• Equa¸c˜ oes diferenciais: E ao que cont´em as derivadas (ou diferenciais) de uma ou mais vari´ aveis dependentes em rela¸c˜ ao a uma ou mais vari´aveis independentes;
• As nota¸c˜ oes utilizadas para representar as derivadas ser˜ao: d d
∂ ∂
,
, etc. para derivadas ordin´arias e
,
, etc. para derivadas parciais; dt dx
∂x ∂y
2. Nota¸ca
˜o linha: y , y , etc. para derivadas ordin´arias;
1. Nota¸c˜ ao de Leibniz:

3. Nota¸c˜ ao subescrito: ux , uy , uxy , etc. para derivadas parciais;
• Exemplos:
1. O movimento de um pˆendulo simples de massa m e comprimento l ´e descrito por uma fun¸c˜ao θ = θ(t) que satisfaz a equa¸c˜ ao diferencial d2 θ g
+ sin θ = 0 dt2 l
A fun¸c˜ ao desconhecida ´e θ = θ(t), a vari´avel dependente ´e θ e a vari´avel independente ´e t;
2. A condu¸c˜ ao de calor em um corpo s´ olido ´e descrita pela equa¸c˜ao diferencial α2 ∂u
∂2u
=
,
2
∂x
∂t

em que α2 ´e uma constante f´ısica (difusividade t´ermica). A fun¸c˜ao desconhecida ´e u = u(x, t), a vari´ avel dependente ´e u e as vari´ aveis independentes s˜ao x e t;
3. A equa¸c˜ ao de Laplace
∂2u ∂2u
+ 2 =0 ( )
∂x2
∂y
´e uma importante equa¸c˜ ao diferencial. A fun¸c˜ao desconhecida u = u(x, y) que satisfaz ( ) ´e denominada harmˆ onica;
• Equa¸c˜ oes diferenciais ordin´ arias e parciais: Uma equa¸c˜ao diferencial ´e denominada ordin´aria (E.D.O.) se a fun¸c˜ ao desconhecida depende somente de uma vari´avel. Caso a fun¸c˜ao desconhecida dependa de mais de uma vari´ avel, a equa¸c˜ ao diferencial ´e denominada parcial (E.D.P.);
´ definida como a ordem mais alta da derivada presente na equa¸c˜
• Ordem de uma equa¸c˜ ao diferencial: E ao. Por exemplo, 3 d2 y dy − 4y = ex
+
5 dx2 dx
´e uma E.D.O. de segunda ordem. De maneira geral, uma equa¸c˜ao diferencial ordin´aria de ordem n ´e uma equa¸c˜ ao da forma
F (t, y, y , . . . , y