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Desigualdades entre as m´dias (I) e Emanuel Carneiro
11 de dezembro de 2003
O ponto de partida para falarmos em desigualdades, s˜o, sem d´vida, as a u m´dias. Come¸aremos de um modo bem simples. e c
Sejam a e b dois n´meros reais positivos. Definimos suas m´dias como: u e
MQ =
MA
MG
MH

M´dia dos Quadrados = e a2 + b2
2

a+b
√2
= M´dia Geom´trica = ab e e
2ab
= M´dia Harmˆnica = e o
=
a+b
=

M´dia Aritm´tica = e e

1 a 2
+

1 b Abaixo ent˜o a primeira desigualdade do nosso texto, que vai nos ajudar a a resolver v´rios problemas como veremos em seguida. a Desigualdade 0.1. Sejam a e b reais positivos quaisquer. Vale ent˜o que: a MQ ≥ MA ≥ MG ≥ MH e al´m disso, cada uma destas desigualdades ocorre se e somente se a = b. e Prova: Come¸aremos por demonstrar que M A ≥ M Q. c a+b √
≥ ab
2
2
⇐⇒ a − 2ab + b2 ≥ 0

⇐⇒

(a + b)2 ≥ 4ab ⇐⇒ a2 + 2ab + b2 ≥ 4ab

⇐⇒

(a − b)2 ≥ 0

o que ´ verdade e s´ ocorre quando a = b. e o
Em seguida, abordaremos M Q ≥ M A.
2

a+b a2 + b2
≥
2
2

⇐⇒

a2 + b2
≥
2

⇐⇒ 2a2 + 2b2 ≥ a2 + 2ab + b2

⇐⇒

a2 − 2ab + b2 ≥ 0 ⇐⇒ (a − b)2 ≥ 0

a+b
2

Chegamos novamente a esta verdade, que s´ ocorre se a = b. o Para provarmos M G ≥ M H , poder´ ımaos proceder como acima, mas faremos um pouco diferente j´ para familiarizar o leitor com o caso geral que vir´ em a a poucas p´ginas. a 1

1
Podemos aplicar a desigualdade M A ≥ M G com os n´meros positivos u e a 1
, para obter: b 1 a +
2

1 b ≥

11
.
ab

a+b
1
≥√
2ab
ab
√
2ab
⇒
ab ≥ a+b ⇒

Vimos que para esta desigualdade ocorrer devemos ter

1
1
= ou seja a = b. a b

Exemplo 0.1. Paladino quer cercar um terreno de forma retangular, e para isso disp˜e de uma cerca 40m. Qual ´ o maior valor da ´rea que nosso her´i o e a o pode cercar?
Solu¸˜o: Sejam a e b os lados do retˆngulo. Como o per´ ca a ımetro da cerca ´ e 40, devemos ter 2a + 2b = 40 ⇒ a