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Aritmética modular
Em matemática, aritmética modular (chamada também de aritmética do relógio) é um sistema de aritmética para inteiros, onde os números "voltam pra trás" quando atingem um certo valor, o módulo.
O matemático suiço Euler foi o pioneiro na abordagem de congruência por volta de 1750, quando ele explicitamente introduziu a ideia de congruência módulo um número natural N.[1]
A aritmética modular foi desenvolvida posteriormente por Gauss em seu livro Disquisitiones Arithmeticae, publicado em 1801.

O relógio usa aritmética módulo 12.
Um uso familiar da aritmética modular é no relógio de ponteiro, no qual o dia é divido em dois períodos de 12 horas cada. Se a hora é 7 horas agora, então daqui a 8 horas serão 3 horas. A adição usual sugere que o tempo futuro deveria ser 7 + 8 = 15, mas esta é a resposta errada por que o relógio "volta pra tràs" a cada 12 horas; não existe "15 horas" no relógio de ponteiro. Da mesma forma, se o relógio começa em 12:00(meio dia) e 21 horas passam, então a hora será 9:00 do dia seguinte, em vez de 33:00. Como o número de horas começa de novo depois que atinge 12, esta aritmética é chamada aritmética módulo 12. 12 é congruente não só a 12 mesmo, mas também a 0, assim a hora chamada "12:00" pode também ser chamada "0:00", pois 0 ≡ 12 mod 12.

Relação de congruência
Aritmética modular pode ser tratada matematicamente introduzindo uma relação de congruência no conjunto dos inteiros que é compatível com as operações do anel dos inteiros: adição,subtração e multiplicação. Para um inteiro positivo n, dois inteiros a e b são ditos congruêntes (ou côngruos) módulo n, e escrevemos

quando a diferença deles . é um inteiro múltiplo de n. O número n é chamado o módulo da congruência.
Por exemplo,

pois 38 − 2 = 36, que é múltiplo de 12.
A mesma regra é vale para valores negativos:

Se e são ou os dois positivos ou os dois negativos, então pode ser visto como a afirmação de que e tem o mesmo resto. Por