Engenheiro

Prof. Joaquim Rodrigues

TABELA DE DERIVADAS E INTEGRAIS
01)

DERIVADAS
Se f ( x) = x , então f ′( x) = 1

INTEGRAIS
∫ 1 dx = 1 ∫ dx = ∫ dx = x + c

02)

Se f ( x) = ax , então f ′( x) = a

∫ adx = a ∫ dx = ax + c

03)

Se f ( x) = x n , então f ′( x) = n ⋅ x n − 1

04)

Se f ( x) = log a x , então f ′( x) =

05)

n
∫ x dx =

1 x ⋅ ln a

x n +1
+ c , n ≠ −1 n +1

1

∫ x ⋅ ln a dx = log

a

x+c

∫ x dx = ln x + c

06)

1 x x
Se f ( x) = a , então f ′( x) = a x ⋅ ln a

07)

Se f ( x) = e x , então f ′( x) = e x

08)

Se f ( x) = sen x , então f ′( x) = cos x

09)

Se f ( x) = cos x , então f ′( x) = − sen x

10)

Se f ( x) = tg x , então f ′( x) = sec 2 x

11)

Se f ( x) = ctg x , então f ′( x) = − csc 2 x

12)

Se f ( x) = sec x , então f ′( x) = tg x ⋅ sec x

13)

Se f ( x) = csc x , então f ′( x) = −ctg x ⋅ csc x

∫ e dx = e + c
∫ cos x dx = sen x + c
∫ sen x dx = − cos x + c
∫ sec x dx = tg x + c
∫ csc x dx = −ctg x + c
∫ sec x ⋅ tg x dx = sec x + c
∫ csc x ⋅ ctg x dx = − csc x + c

14)

Se f ( x) = arc tg x , então f ′( x) =

15)
16)
17)
18)

1

Se f ( x) = ln x , então f ′( x) =

x
∫ a dx = x (

)

x

2

2

1
1+ x2
1
Se f ( x) = arc sen x , então f ′( x) =
1− x2
1
Se f ( x) = arc cos x , então f ′( x) = −
1− x2
Se f ( x) = ln x + x 2 + 1 , então f ′( x) =

ax
+c
ln a

1

∫1+ x

∫
∫−
1

1+ x2
1
1+ x 
1
Se f ( x) =  ⋅ ln
 , então f ′( x) =
2

1− x 
1− x2


2

dx = arc tg x + c

1
1− x2
1

dx = arc sen x + c

dx = arc cos x + c
1− x2
1
2
∫ 1 + x 2 dx = ln x + x + 1 + c
1
1
1+ x
∫ 1 − x 2 dx = 2 ⋅ ln 1 − x + c

Regra do produto:
Se f ( x) = u ⋅ v , então f ′( x) = u ′v + uv ′

Regra de L’Hospital
Seja lim f ( x) = 0 e lim g ( x) = 0 e se existe

Regra do quociente: u ′ ⋅ v − u ⋅ v′ u Se f ( x) = , então: f ′ ( x) =
.
v v2 f ′( x) f ( x) lim , então existe lim e daí