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Cauchy usou o seguinte processo para definir a integral de uma função real. Seja f:[a,b]R limitada não negativa, isto é, f(x)>0 ou f(x)=0 para todo x em [a,b] e tomemos uma partição:

a=x0< x1 < ... < xn=b do intervalo [a,b] que tenha todos os n subintervalos com o mesmo comprimento dx=(b-a)/n.

Tomaremos apenas os primeiros pontos da partição e faremos uma análise geométrica da curva no sub-intervalo [xo,x1]. Para os outros sub-intervalos ocorre uma situação similar. A área sob a curva no intervalo [xo,x1] pode ser obtida através da área S1 do retângulo cuja base mede dx=x1-xo e a altura é a linha tracejada cuja medida é dada por f(c1) onde c1 é um ponto em [xo,x1].

Existe uma compensação da área "branca" que fica acima da curva e dentro do retângulo com a área "branca" que fica abaixo da curva e fora do retângulo.

Em cada subintervalo Ij=[xj,xj+1] desta partição tomamos um ponto genérico qualquer cj e formamos n retângulos, todos com as bases de medida dx e alturas dadas por:

f(c1), f(c2), ..., f(cn)
Se a partição tem n subintervalos, denotamos por Sn a soma das áreas dos n retângulos:

Sn = f(c1)dx + f(c2) dx + ... + f(cn)dx = sendo a soma realizada sobre todos os j=1...n.

Se essas somas forem calculadas para todos os valores de n, formaremos uma sequência:

{S1, S2, ..., Sn, ...}
Se esta sequência numérica {Sn} é convergente para um número real bem definido, diz-se que f é integrável no intervalo [a,b] e o valor do limite desta sequência é denotado por:

= (1)
A expressão da esquerda é a integral de f entre os limitantes de integração a e b e a expressão da direita é o limite da sequência de somas parciais Sn.

Observações sobre a definição de integral
Devido ao importante trabalho de Riemann, já citado antes, a integral definida por (1) é denominada Integral de Riemann e as somas

Sn= são chamadas de somas de Riemann.

O processo de construção usado na definição da Integral de Riemann sugere que:

seja definido