Engenharia

Aplicação de Derivada em Otimização

A derivada pode ser utilizada em várias maneiras no meio em que vivemos para ser usada em cálculos diversos. Sua aplicação em otimização tem como objetivo principal maximizar ou minimizar a solução.

Exemplo de maximização:

Um Agricultor tem 2400m de rede para cercar um campo retangular que está na margem de um rio. Ele não precisa de cerca ao longo do rio. Quais são as dimensões do campo que tem maior área?

Como fazer:

entender o problema e fazer um esboço, identificando dados do enunciado e representando valores desconhecidos por letras, como x e y (principalmente a resposta que queremos)

Obter a expressão que pretendemos maximizar ou minimizar, no caso, maximizar:

A(x)= x.y x+x+y= 2400 y=2400-2x A(x)= x.(2400-2x)
A(x)= -2x²+2400x

Aplicamos assim a derivada:

A’(x)= -4x+2400 igualando a 0:
A’(x)=0 , -4x+2400=0 , x= -2400/-4 logo, x= 600
Assim temos que a maior área possível seria quando x=600 e y=1200.

Exemplo de minimização:

Qual é o menor perímetro possível para um retângulo cuja área é 16m² e quais as suas dimensões?

Como fazer:

entender o problema e fazer um esboço, identificando dados do enunciado e representando valores desconhecidos por letras, como x e y (principalmente a resposta que queremos)

Obter a expressão que pretendemos maximizar ou minimizar, no caso, minimizar:

P=2x+2y

se x.y=16 então y=16/x

P(x)=2x+32/x

Aplicamos assim a derivada:

P’(x)=2-32/x²
P’(x)=2x²-32
P’(x)=0
2x²-32=0
x= +-4

para verificarmos se o ponto é mínimo ou máximo derivamos novamente a primeira expressão

P’’(x)=64/x³ aplicando os valores de x verificamos:
64/-4³ = -1
64/4³=1

logo, a solução positiva tem concavidade virada para cima, sendo assim o ponto mínimo procurado, logo, o x procurado é igual a 4

4.y=16 y=4 sendo assim, encontramos um quadrado de lados iguais a 4m.

o menor perímetro possível para um retângulo cuja área é 16m² é 16m, e suas