engenharia

LIMITE E CONTINUIDADE EM
FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS

Uberlândia 09 – 2013

LIMITE E CONTINUIDADE EM
FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS

Neste momento estenderemos os conceitos de limite e continuidade para as funções de duas variáveis. Esses conceitos auxiliam no desenvolvimento formal das idéias principais do cálculo diferencial das funções de várias variáveis.
Se f é uma função contínua de duas variáveis, podem interessar-nos as mudanças nos valores funcionais quando varia no domínio e . Como ilustração física, suponha que uma chapa metálica plana tenha a forma da região da figura abaixo.

A cada ponto da chapa corresponde uma temperatura , que é registrada em um termômetro representado pelo eixo-w. Quando o ponto se move na chapa, a temperatura pode aumentar, diminuir ou constante, portanto, o ponto do eixo-w que corresponde a se moverá numa direção positiva, ou numa direção negativa, ou permanecerá fixo, respectivamente. Se a temperatura se aproxima de um valor fixo L quando se aproxima de um ponto fixo (a,b) utilizamos a seguinte notação.

Lê-se: O limite de , quando tende para , é L.

Para dar precisão matemática procedamos como segue. Para arbitrário, consideramos o intervalo aberto no eixo-w, conforme a figura abaixo. Se a notação é verdadeira, existe um tal que para todo ponto interior ao círculo de raio com centro em exceto possivelmente o próprio o valor funcional está no intervalo .

Isto equivale a seguinte afirmação: Se então .

Exemplo1: Ache

a-

b-

c-

Exemplo2: Mostre que não existe.

Propriedades dos Limites de Funções de Duas Variáveis

As regras a seguir são verdadeiras se