Elementos finitos

osCapítulo III
3.2. Método das Diferenças Finitas
Este item 3.2 foi extraído da referência [55] Carnahan 1969, sofrendo modificações.
Em todo o desenvolvimento da análise numérica, utiliza-se as diferenças finitas, com um roteiro a ser seguido numa seqüência lógica. Partindo da definição de operadores numéricos de diferenças finitas (∆, ∇, µδ e δ), introduz-se o conceito de interpolação através das fórmulas de Gregory-Newton e Stirling, que utilizam estes operadores. Em seguida, introduz-se a derivação numérica e a integração numérica (Quadratura) por meio da derivação e integração da fórmula de Gregory-Newton, chegando às fórmulas de
Newton-Cotes.
Seguindo essa técnica, praticamente todos os tópicos da análise numérica podem ser introduzidos por meio das diferenças finitas, e depois, eles são desenvolvidos para além das diferenças finitas. No estudo de análise numérica de equações diferenciais não é diferente. Sugere-se uma introdução por meio dos métodos das diferenças finitas (do inglês: Finite Difference Methods ou FDM), e posteriormente, o desenvolvimento do assunto para além das diferenças finitas, como por exemplo, a introdução do Método dos
Elementos Finitos. Com isso, segue-se um desenvolvimento didático muito próximo do desenvolvimento histórico, uma vez que, conforme foi citado no item 1.2 da Introdução, o método das diferenças finitas surgiu antes do Método dos Elementos Finitos.
O método das diferenças finitas pode ser utilizado para resolver problemas de valor de contorno ou valor inicial, envolvendo equações diferenciais ordinárias ou parciais.
Assim, este método pode ser usado para solucionar as equações de modelos a parâmetros concentrados ou distribuídos. A técnica consiste em substituir cada derivada ou diferencial das equações diferenciais por aproximação de diferenças finitas ou acréscimo finitos das variáveis, como mostra as equação 3.1 abaixo: dx ≈ ∆x, dy ≈ ∆y ì ï ï dy ∆y d 2 y ∆2 y d 3 y ∆3 y ï ≈
,
≈
≈
,
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