Eixo Radical De Duas Circunferencias Heraldo E Washington

Heraldo Henrique e Washington Mariano

Eixo Radical de Duas Circunferências
Para se demonstrar o eixo radical, é preciso entender sobre potência de ponto.

Potência de Ponto
Definição: (Potência de Ponto) Seja dada uma circunferência λ(O,r) e um ponto A do plano π.
Definimos a potência de ponto A em relação a λ como
Potλ(A) = (AO)² - r²

(resultado 1)

Dem.: Seja um ponto P em relação a uma circunferência λ.Temos 2 possibilidades:
I) P é interior à circunferência
Se por P passam duas retas concorrentes que interceptam a circunferência em A, B, C e D, temos: Considerando os triângulos PAD e PCB:
<APD = <CPB(opastos pelo vértice)
<PAD=<PCB= BD/2
⇒ ∆PAD ~ ∆PCB ⇒ (PA)/(PC) = (PD)/(PB)
⇒ (PA).(PB) = (PC).(PD)
II) P é exterior a circunferência

Considerando os triângulos PAD e PCB:
<APD = <CPB(ângulo comum)
<PAD = <PCB = (BD)/2
⇒ ∆PAD ~ ∆PCB ⇒ (PA)/(PC) = (PD)/(PB) ⇒ (PA).(PB) = (PC).(PD)
No 1º caso, concluímos que se duas cordas de uma mesma circunferência se interceptam, então o produto das medidas das duas partes de uma é igual ao produto das medidas das duas partes da outra.
No 2º Caso, concluímos que se por um ponto (P) exterior a uma circunferência conduzimos dois segmentos secantes (PA e PC), então o produto da medida do primeiro PA pela sua parte exterior PB é igual ao produto da medida do segundo PC pela de sua parte exterior PD.
Portanto, a potência de um ponto A só depende da posição do ponto em relação à circunferência e em ambos os casos, ou seja, Potλ(A) = (PA).(PB) = (PC).(PD)
Reescrevendo a fórmula de potência temos:
Pot(P) = (PA).(PB);
PA = PO - OA
PB = PO + OB; OB = OA(raio do círculo)
(PA).(PB) = (PO-OA).(PO+OA) = (PO)² - (AO)²
PO = d = distância de P ao centro O e AO = r(raio da circunferência)

PotλP= d² + r² (demonstrando assim o resultado 1)
Sendo esse o resultado de interesse para a demonstração.
Obs.: Se um ponto pertence à circunferência, sua potência é zero, pois a distância de P ao centro da circunferência é igual ao raio.

Eixo Radical