Edo de primeira ordem

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
P ROF. M SC.: Cassius Gomes de Oliveira
Parte 2: EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
2012/2

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EQUAÇÕES LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM Definição: Uma equação diferencial de primeira ordem da forma a1 (x) dy + a0 (x)y = g(x), dx a1 (x) = 0

é denominada equação linear. Definição: Quando g(x) = 0 temos uma equação diferencial linear homogênea. Caso contrário a equação é não homogênea.

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FORMA PADRÃO: Dividindo ambos os lados da equação a1 (x) dy + a0 (x)y = g(x), dx

por a1 (x), obtemos: dy + P (x)y = f (x). dx

sendo a0 (x) P (x) = a1 (x)

e

g(x) f (x) = a1 (x)

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Se a função P (x) = 0, temos uma E.D.O. de primeira ordem na forma: dy = f (x) dx que é resolvida através da integração de ambos os lados da última equação. Logo, neste caso, a solução geral da E.D.O. de primeira ordem é dada por: y= f (x)dx + C

EXEMPLO: Determinar a solução geral da E.D.O.: dy = sen(2t) dt
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Algumas soluções da E.D.O.:

dy = sen(2t) dt
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Solução de E.D.O.’s lineares de primeira ordem (CASO GERAL) Neste caso, vamos considerar equações na forma padrão: dy + p(t)y = f (t) dt

(1)

Neste caso, vamos definir uma função auxiliar µ(t), de forma que ao multiplicarmos (1) por esta função, obtemos uma equação linear com p(t) = 0. Uma função com esta propriedade é chamada de fator integrante da equação linear. Este fator integrante, para as E.D.O.’s lineares é da forma: µ(t) = e p(t)dt . – p.6/67

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Mostrando que µ(t) = e (1).

p(t)dt

é um fator integrante da E.D.O.

Inicialmente, note que: dµ =e dt p(t)dt d dt

p(t)dt

ou seja, dµ = µ(t)p(t) dt

Multiplicando a equação (1) por µ(t), obtemos: µ(t) dy + µ(t)p(t)y = µ(t)f (t) dt

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