Economia matematica

Solução Numérica de Equações
Neste tópico estudaremos os métodos de se determinar os zeros (ou raízes) de uma função f. O objetivo será o de aproximar os zeros de f, isto é os valores r’ tais que f(r’) = 0. A idéia será determinar uma aproximação grosseira inicial, por exemplo, por meio de um gráfico e em seguida, refinar a solução por um método iterativo.
Nosso estudo se dividirá em dois itens:
 Determinação do intervalo que contenha de preferência, uma única raiz;
 Determinação de raiz por processo iterativos.

Determinação do intervalo que contenha de preferência, uma única raiz

Existem duas formas de se determinar o intervalo que contenha a raiz, uma forma de se construir o gráfico da função, podemos construir o gráfico de duas formas:
a) Tomando-se a função f(x) = 0
Exemplo: f(x) = ex + x – 2 = 0

Pelo gráfico vemos que a raiz r’, de f(x) está no intervalo [0,1].
b) Uma outra forma de construirmos o gráfico de f(x) é considerarmos a função na forma x=h(x) teremos, assim, duas funções g(x)=x e h(x). No nosso exemplo, teremos: x e +x–2=0 x = 2- ex ; Seja; g(x) = x e h(x) = 2- ex g(x) h(x)

A raiz da função x = h(x) é o ponto de intersecção das duas funções, vemos que a raiz esta entre 0 e 1, ou seja r’ [0;1].
A outra forma de determinar o intervalo que contenha a raiz de uma função, é pelo teorema:

“Se f(x) é contínua no intervalo [a,b] e se f(a) e f(b) tem sinais contrários, então existe ao menos uma raiz de f(x) = 0 entre a e b”.

f(a) f(b) F(b)

f(a)

a

b

a

f(a)

b

a

b

f(b)

(I)

(II)

(III)

As três figuras acima mostram caso a qual o teorema pode não nos ajudar. No (I) e (II) caso conseguimos isolar a raiz, ou seja, conseguimos um intervalo que contenha a raiz. No (lll) caso o teorema nos dizia que a função não tem raiz, e no entanto, ele toca no eixo-x. Assim apesar de mais trabalhoso o método de construção do gráfico é mais eficiente.
(Ex.1) Determine o intervalo que contenha a