Distribuição Normal

7.11.3. Normal
A distribuição normal aparece na estatística por duas razões principais:
I)
Descreve muitas populações originais, pois não é difícil encontrar variáveis que se referem a fenômenos naturais ou sociais que tenham distribuição normal, como por exemplo, inteligência, altura física de pessoas, erros de medida, comportamento etc. Dados que são influenciados por pequenos e não relacionados efeitos aleatórios também são aproximadamente distribuídos normalmente. Exemplo: estoque, temperatura, demanda.
II)
Descreve algumas distribuições amostrais importantes, em especial a da média amostral.
Assim, a distribuição normal pode servir como descrição de uma população original ou de uma distribuição amostral.
Em 1756, de Moivre demonstrou como um conjunto de sorteios aleatórios se distribui em torno do seu valor médio.
Em uma distribuição normal, aproximadamente 68% das observações se situarão dentro de um desvio-padrão da média de todas as observações e 95% delas se situarão dentro de dois desvios-padrões da média e 99% delas se situarão dentro de três desvios-padrões da média.
Exemplo
7.17 Suponha que a altura de estudantes, em cm, é distribuída normalmente com uma média de
150 cm e um desvio-padrão de 20 cm. Escolhido um estudante aleatoriamente qual a probabilidade de ter
a) Mais de 170 cm de altura?
b) Mais de 190 cm de altura?
Solução:
a) P(X > 170) = 𝑃(𝑋 > 150 + 20) = 𝑃(𝜇 + 𝜎) = 0,5 − 0,34 = 0,16 = 16%
b) P(X > 190) = 𝑃(𝑋 > 150 + 40) = 𝑃(𝜇 + 2𝜎) = 0,5 − 0,475 = 0,975 = 97,5%
7.11.3.1. Definição
A variável aleatória X que tome todos os valores reais −∞ < 𝑥 < +∞, tem uma distribuição
Normal (ou Gaussiana) se sua função densidade de probabilidade for da forma: f(x) =

1 σ√2π (x−μ)2

e

−

2σ2

=

1 σ√2π 1 x−μ 2 σ )

e−2 (

onde  e ² são os parâmetros da distribuição. A Notação X~N(μ , σ2 )
7.11.3.2. Gráfico da Normal
O gráfico de f(x) apresenta a forma de sino e é simétrica em relação a 𝜇. Observe que quando x → ±∞ , f(x) → 0 , assintoticamente.