Distribuição gama

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Distribui¸˜o Gamma ca Uma vari´vel aleat´ria X tem disbribui¸ao gamma como parˆmetros a > 0 a o c˜ a e λ > 0 se sua densidade de probabilidade ´ dada por: e λa a−1 −λx x e I (x)(0,∞)
Γ(a)
Demostra¸ao c˜ ∞
0

λa a−1 −λx xe Γ(a)

chamamos, u = λx du = λdx u x= λ logo minha nova integral fica λa Γ(a) λa Γ(a)

u λ 0

∞
0

λa
Γ(a)
λa λa Γ(a)

u λ ∞
0

a−1

a

∞

u a −1

du
=
λ

e −u

du
=
λ

ua λ −u du e = λa u λ ∞
0

e −u

ua−1 e−u du =

Γ(a)
=1
Γ(a)
Portanto ´ uma legitima desidade de probabilidade. e para x > 0 e f (x) = 0 para x < 0.

2
Se o parˆmetro a for inteiro, esta fam´ de distribui¸ao de probabilidade a ılia c˜ recebe o nome de distribui¸ao de Erleng. Essa distribui¸ao tem um papel c˜ c˜ de destaque em telefonia e recebeu esse nome em homenagem ao engenheiro dinamarquˆs Erleng, que empregou essas distribui¸ao pela primeira vez para e c˜ modelar dura¸ao de chamadas telefˆnica por volta de 1917. c˜ o uma outra propriedade da gama para a inteiro ´ e Γ(a) = (a − 1)!
Demostra¸ao
c˜
Γ(a) =

∞
0

xa−1 e−x dx =

Fazendo uma integral por partes
Chamamos
u = xa−1 =⇒ du = (a − 1)xa−2 dx v = e −x = − e −x portanto − xa−2 e −x | ∞ +
0

∞
0

e−x (a − 1)xa−2 dx =

Como limete de lim −xa−2 e−x =⇒ 0

x→∞

logo minha nova integral fica
(a − 1)

∞
0

e−x xa−2 dx =

Fazendo uma nova integral por por partes
Chamamos
z = xa−2 =⇒ dz = (a − 2)xa−3 dx

3 v = − e −x portanto ∞

−xa−2 e−x |∞ +(a − 1)(a − 2)
0

0

xa−3 e−x dx = (a − 1)(a − 2)

Pela recussividade temos que
Γ(a) = (a − 1)(a − 2)(a − 3) · · · 1 = (a − 1)!

2o Propriedade
Γ(a + 1) = aΓ(a)
Demostra¸ao:
c˜
Γ(a + 1) =

∞
0

xa−1 e−x dx =

∞
0

Integrando por partes temos x = xa =⇒ du = axa−1 dx v = − e −x
Logo fica
−xa e−x |∞ +aΓ(a)
0
Como o limete xa =⇒ 0 x→∞ ex lim Portanto
Γ(a + 1) = aΓ(a)

xa+1−1 e−x dx

∞
0