diferenças finitas para a equação de laplace
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Métodos Numéricos em Finanças ISEG/UTLFernando Gonçalves
Diferenças nitas para a equação de Laplace.
Considere o problema de valor de fronteira para a equação de Laplace
(1)
2
2
∂ u+∂ u =0
∂x2
∂y 2
se (x, y) ∈ (0, 40) × (0, 30)
se x ∈ [0, 40]
u(x, 0) = u(x, 30) = 0,
u(0, y) = y(30 − y), u(40, y) = 0 se y ∈ [0, 30].
Para aproximar a solução do problema (1), vamos usar um esquema de diferenças nitas numa grelha uniforme com ponto genérico (ih, jh)
2
Zh = {(x, y) : x = ih, y = jh, i = 0, . . . , M, j = 0, 1, . . . , N } ,
com h = 10, M = 4 e N = 3.
1
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Fernando Gonçalves
Consideremos a seguinte discretização do problema (1)
j−1 j j j Ui − 2Uij + Uij+1 Ui−1 − 2Ui + Ui+1
+
= 0, i = 1, 2, 3, j = 1, 2
h2 h2
(2)
0
3
Ui = Ui = 0,
j
U = u(0, jh) = jh(30 − jh), U j = 0,
0
4
i = 0, . . . , 4 j = 0, . . . , 3,
2 onde Uij := U (ih, jh), com (ih, jh) ∈ Zh , e h = 10.
1. Consistência.
4
Vamos assumir que u ∈ C4 ((0, 40) × (0, 30)) ∩ C([0, 40] × [0, 30]) e denotar uj = u(ih, jh). i Das expansões de Taylor
•
uj i+1 =
uj i +h
• uj = uj − h i−1 i
• uj+1 = uj + h i i
• uj−1 = uj − h i i
∂u
∂x
j
∂u
∂x
j
h2
2
∂2u
∂x2
j
h2
2
∂2u
∂y 2
j
h2
2
∂2u
∂y 2
j
j
∂u
∂y
∂2u
∂x2
j
∂u
∂y
h2
+
2
j
i
+ i + i + i i
h3
+
6
∂3u
∂x3
j
h3
6
∂3u
∂x3
j
h3
6
∂3u
∂y 3
j
h3
6
∂3u
∂y 3
j
− i + i − i + O(h4 ) i + O(h4 ) i + O(h4 ) i + O(h4 ), i obtemos uj − 2uj + uj i−1 i i+1 = h2 ∂2u
∂x2
j
uj−1 − 2uj + uj+1 i i
= i
=
h2
∂2u
∂u2
j
x x • D+ D− uj = i •
y y D+ D− uj i + O(h2 ) i + O(h2 ). i 2
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