Ar condicionado

Introdução
Uma placa quadrada está sujeita a condução bidimensional em regime permanente. Uma de suas paredes está isolada e as outras três paredes estão à temperaturas T1=800C, T2=1000C e T3,=200C.
Determinar o perfil de temperaturas nesta placa é o objetivo deste trabalho.

Modelagem do problema
O problema de condução bidimensional em regime permanente pode ser representado matematicamente pela equação de Laplace em coordenadas retangulares. Com as seguintes condições de contorno:

A equação de Laplace é uma equação diferencial parcial (EDP) elíptica e o Método das Diferenças Finitas pode ser usado para resolver esta equação. O MDF se baseia na aproximação das derivadas de primeira e de segunda ordem de uma função pelas respectivas equações de diferenças divididas de primeira e de segunda ordem em x e y:
Sendo as diferenças de segunda ordem:

Substituindo essas diferenças na equação de Laplace, temos: Sendo as diferenças centrais: Sabendo que a condição de contorno implica em e então, como , .
Substituindo a difenreça centra nesta equação, temos: , para então, Implementação Computacional
Foi utilizado o software Matlab para computação numéricado problema. O método das diferenças finitas transforma uma equação diferencial em um sistema de equações algébricas para calcular a temperatura em pontos da malha. Um número n de incógnitas corresponde a um número n de equações do tipo . Os coeficientes destas equações, assim como as incógnitas e os termos independentes podem ser representados na forma matricial. Sendo A a matriz dos coeficientes, matriz nxn, B, a matriz dos termos independentes (nx1) e F (nx1), a das incógnitas, o software foi usado pra resolver o sistema , determinando assim o perfil de temperaturas na placa.
O padrão da matriz esparsa A apresenta a seguinte sequência de elementos: As excessões ocorrem com pontos onde j=1, pois o termo , pontos onde i-1=0 e pontos onde i=n. Quando